Seuraa 
Viestejä4

 Olkoon K kunta ja f  ϵ K[x], deg () ≥ 2. Jos f  on jaoton renkaassa K[x], niin polynomilla ei ole juuria kunnassa K, koska jos f  on jaoton, niin ei sillä myöskään ole ensimmäisen asteen tekijöitä. Tällöin ei myöskään juuria (polynomien tekijälause). 

Tämä on melko selvää, käänteinen taas ei ole ollenkaan yhtä selvä. Polynomi voi olla jaollinen, vaikka sillä ei olisi yhtään juurta. Jotkin neljännen asteen polynomit antavat hyvän esimerkin: x⁴ +2x²+1=(x²+1)(x²+1), tämä todellakin on jaollinen renkaassa [x], mutta sillä ei ole yhtään reaalista juurta.

 

Jotakin on kuitenkin myös tähänkin suuntaan:

Olkoon K kunta, ja ϵ K[x] toisen tai kolmannen asteen polynomi. Jos polynomilla f  ei ole juuria kunnassa K , niin on se myös jaoton renkaassa  K[x].

Tämä perustuu siihen, että jos f  olisi jaollinen, niin se olisi muotoa f = gh , jollain g, h ϵ K[x] ja deg(g), deg(h) ≥ 1.  Koska K on kunta, niin kuitenkin pätee, että  deg (f) = deg (g) + deg (h). Mutta koska deg (f) ≤ 3, niin on joko g :n tai h :n aste 1, ja tällöin polynomilla f  on ensimmäisen asteen tekijä, ja täten myös juuri. 

Tämäkin on melko selvä asia itseäni kuitenkin jäi mietityttämään yksi asia:

Voidaanko osoittaa, että jos on kunta K, ja polynomi ϵ K[x], jolle deg(f)= p , missä p on alkuluku, niin silloin , jos polynomi on jaollinen, niin sillä on aina ainakin yksi juuri kunnassa K? Koska alkulukuasteista polynomia ei voi jakaa kahteen parittomaan tekijäpolynomiin, vaan tulee mahdollisilla tekijäpolynomeista toisen olla parillinen ja toisen tulee olla 1. asteen polynomi. Jos taas kunta K kertoimisella polynomilla f  on 1. asteen tekijä, niin silloin sillä on myös ainakin yksi juuri tekijälauseen mukaan.

Kommentit (2)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2524

Hieno kysymys sulla, tuota pitikin pohtia aikansa, että mites tuo onkaan.

mltOpiskelija kirjoitti:

...
Voidaanko osoittaa, että jos on kunta K, ja polynomi f ϵ K[x], jolle deg(f)= p , missä p on alkuluku, niin silloin , jos polynomi on jaollinen, niin sillä on aina ainakin yksi juuri kunnassa K?


Ei voida,vastaesimerkki:

Valitaan kunnaksi K rationaaliluvut ℚ ja määritellään renkaan ℚ[x] polynomi

f(x) = x⁵ + x³ + 2x² + 2.

Polynomin f aste = 5 eli deg(f) = alkuluku ja f on jaollinen, sillä se voidaan esittää tulona f = gh, missä

g(x) = x³ + 2
h(x) = x² + 1

Polynomilla h ei ole kuitenkaan nollakohtia kunnassa ℚ, koska polynomeilla g ja h ei ole.

Sulla oli hyvä ajatus, mutta seuraavassa on se kriittinen virhe:

mltOpiskelija kirjoitti:

Koska alkulukuasteista polynomia ei voi jakaa kahteen parittomaan tekijäpolynomiin, vaan tulee mahdollisilla tekijäpolynomeista toisen olla parillinen ja toisen tulee olla 1. asteen polynomi.

Tuon parittoman asteisen polynomin ei tarvitse olla ensimmäisen asteen polynomi, vaan se voi olla muutakin, kuten vaikka mun esimerkissä. missä deg(f) = 5, deg(g)=3 ja deg(h)=2. Eli se antamasi toisen ja kolmannen asteen polynomeille soveltuva argumentti ei toimi tässä enää.

Tähän kysymykseesi hieman liittyen, seuraava tulos on voimassa, joka on kyllä algebran kurssilta tuttu:

Jos K on kunta, nin polynomirenkaassa K[x] jokainen polynomi P voidaan esittää jaottomien polynomien P₁ P₂... Pₙ  tulona P = P₁ P₂... Pₙ ja tämä hajotelma on oleellisesti yksikäsitteinen, vain vakiokertoimen (= nollannen asteen polynomi) paikka voi vaihdella.

Nyt jos jokaiselle Pᵢ olisi aste deg(Pᵢ)≥2, niin silloin polynomilla P ei ole yhtään nollakohtaa kunnassa K, vaikka P on jaollinen (siis jos n≥2). P:llä on nollakohtia vain jos jokin tekijäpolynomi on ensimmäistä astetta, kuten jo viestisi alussa totesitkin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

mltOpiskelija
Seuraa 
Viestejä4

Kiitos vastauksesta ja vastaesimerkistä. Huomasin nyt itsekkin oman virheeni kun oudot irrationaaliluvut nostivat vähän päätään.

Jaottomien polynomien hajotelmana esittäminen onkin tosiaan algebran kurssilta tuttu. Se itse asiassa sai tätä kysymystä miettimäänkin, että millaisia ominaisuuksia jaottomilla polynomeilla onkaan erilaisissa kunnissa.  Algebran peruslauseestahan saadaan, että parittomilla reaalikertoimisillapolynomeilla on vähintään yksi reaalinen nollakohta ja reaali- sekä kompleksilukujen kunnissa jaottomille polynomeille pätee deg(f) ϵ {0,1}. Siksi halusinkin pidättäytyä yleisesti kunnissa. Jaollisuuden tutkiminen rationaalilukujen kunnassa ℚ ei onnistu ihan samalla tavalla kuin reaalikertoimisten tapauksessa, vaikkakin joitakin testejä siihenkin on.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat