Seuraa 
Viestejä14502

Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Sivut

Kommentit (17)

Eusa
Seuraa 
Viestejä16950

PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Mikäs tuo —> on olevinaan? Eikös porrasfunktion porraskorkeusmuuttujaksi tule valita ellipsin säteen puolikas ja pinta-alkion ortomittana on sitten integrointi-infinitesimaali?...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
Seuraa 
Viestejä14502

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Se parametri t ei ole mikään napakoordinaatiston kulma, se on vain parametri!

Näet sen seuraavasti:

napakoordinaatiston kulmalle  φ pätee:

tan(φ) = y/x,

ja käyttämällesi parametrille t pätee:

tan(t) = b/a y/x = b/a tan(φ).

Siksi et voi käyttää pinta-alkiolle kaavaa dA = 1/2 r^2 dt vaan se oikea dA:n lauseke on johdettava erikseen.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä16950

PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Mietinkin, että havitteletko napakoordinaatistoa. Integraali on muotoa t=0...2π∫ r=a(t)...b(t)∫ f(r,t)*r dr dt.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä16950

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Mikäs tuo —> on olevinaan? Eikös porrasfunktion porraskorkeusmuuttujaksi tule valita ellipsin säteen puolikas ja pinta-alkion ortomittana on sitten integrointi-infinitesimaali?...

Se gt-häkkyrä olikin nuoli, editorissa hämäsi.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä14502

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Se parametri t ei ole mikään napakoordinaatiston kulma, se on vain parametri!

Näet sen seuraavasti:

napakoordinaatiston kulmalle  φ pätee:

tan(φ) = y/x,

ja käyttämällesi parametrille t pätee:

tan(t) = b/a y/x = b/a tan(φ).

Siksi et voi käyttää pinta-alkiolle kaavaa dA = 1/2 r^2 dt vaan se oikea dA:n lauseke on johdettava erikseen.

Minulla oli x=acost ja y=bsint joten

y/x= asin t/acost=b/a*tant 

joten boldattu on väärin.

Edelleenkin napakoordinaateissa dA=1/2*r^2*dt  alla olevan linkin mukaan

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

.

PS. Jos olisin käyttänyt pinta-alkiona dA=ydx =-absin^2tdt niin silloin

A=4∫ydx(x:0—>a)=4∫(-absin^2tdt)(t:π/2—>0)=....=πab

Vaan missä virhe?

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Se parametri t ei ole mikään napakoordinaatiston kulma, se on vain parametri!

Näet sen seuraavasti:

napakoordinaatiston kulmalle  φ pätee:

tan(φ) = y/x,

ja käyttämällesi parametrille t pätee:

tan(t) = b/a y/x = b/a tan(φ).

Siksi et voi käyttää pinta-alkiolle kaavaa dA = 1/2 r^2 dt vaan se oikea dA:n lauseke on johdettava erikseen.

Minulla oli x=acost ja y=bsint joten

y/x= asin t/acost=b/a*tant 

joten boldattu on väärin.

No eihän tuolla ole väliä, tuo on vain kirjoitusvirhe. Ihan samalla tavalla tuosta sun kaavasta:

tan(φ) = y/x= asin t/acost = b/a*tant

saa, että

tan(φ) ≠ tan(t) eli φ≠t,

eli parametri t ei voi olla napakulma, koska tuo φ on.

PPo kirjoitti:

Edelleenkin napakoordinaateissa dA=1/2*r^2*dt  alla olevan linkin mukaan

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

.

PS. Jos olisin käyttänyt pinta-alkiona dA=ydx =-absin^2tdt niin silloin

A=4∫ydx(x:0—>a)=4∫(-absin^2tdt)(t:π/2—>0)=....=πab

Vaan missä virhe?

Virhe on edelleen siinä, että tuo t ei ole napakoordinaatti, vaan φ =arctan (y/x) on.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

PPo
Seuraa 
Viestejä14502

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Se parametri t ei ole mikään napakoordinaatiston kulma, se on vain parametri!

Näet sen seuraavasti:

napakoordinaatiston kulmalle  φ pätee:

tan(φ) = y/x,

ja käyttämällesi parametrille t pätee:

tan(t) = b/a y/x = b/a tan(φ).

Siksi et voi käyttää pinta-alkiolle kaavaa dA = 1/2 r^2 dt vaan se oikea dA:n lauseke on johdettava erikseen.

Minulla oli x=acost ja y=bsint joten

y/x= asin t/acost=b/a*tant 

joten boldattu on väärin.

No eihän tuolla ole väliä, tuo on vain kirjoitusvirhe. Ihan samalla tavalla tuosta sun kaavasta:

tan(φ) = y/x= asin t/acost = b/a*tant

saa, että

tan(φ) ≠ tan(t) eli φ≠t,

eli parametri t ei voi olla napakulma, koska tuo φ on.

PPo kirjoitti:

Edelleenkin napakoordinaateissa dA=1/2*r^2*dt  alla olevan linkin mukaan

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

.

PS. Jos olisin käyttänyt pinta-alkiona dA=ydx =-absin^2tdt niin silloin

A=4∫ydx(x:0—>a)=4∫(-absin^2tdt)(t:π/2—>0)=....=πab

Vaan missä virhe?

Virhe on edelleen siinä, että tuo t ei ole napakoordinaatti, vaan φ =arctan (y/x) on.

Nyt ymmärsin. (theta=ß)

tanß=b/a*tant—>

(1+tan^2ß)dß=b/a*(1+tan^2t)dt

dA=1/2*r^2*dß=(a^2cos^2+b^2sin^2)*b/a*(1+tan^2t)/(1+b^2/a^2*tan^2t)*dt=.....=ab(cos^2+1)dt—>

A=∫ab(cos^2t+1)dt=....=πab kuten pitääkin.

Eusa
Seuraa 
Viestejä16950

PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Se parametri t ei ole mikään napakoordinaatiston kulma, se on vain parametri!

Näet sen seuraavasti:

napakoordinaatiston kulmalle  φ pätee:

tan(φ) = y/x,

ja käyttämällesi parametrille t pätee:

tan(t) = b/a y/x = b/a tan(φ).

Siksi et voi käyttää pinta-alkiolle kaavaa dA = 1/2 r^2 dt vaan se oikea dA:n lauseke on johdettava erikseen.

Minulla oli x=acost ja y=bsint joten

y/x= asin t/acost=b/a*tant 

joten boldattu on väärin.

Edelleenkin napakoordinaateissa dA=1/2*r^2*dt  alla olevan linkin mukaan

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

.

PS. Jos olisin käyttänyt pinta-alkiona dA=ydx =-absin^2tdt niin silloin

A=4∫ydx(x:0—>a)=4∫(-absin^2tdt)(t:π/2—>0)=....=πab

Vaan missä virhe?

Jaha. Juu onhan siellä tuo muoto. Mutta muodostit integraalin laittomasti. ;)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä14502

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa on x=acost, y=bsint, 0≤t≤2π, r^2=x^2+y^2.
Valitaan pinta-alkioksi dA=1/2*r^2*dt—>
A=∫dA=∫((acost)^2+(bsint)^2)dt(t:0—>2π)=....=(a^2+b^2)*π/2
Ellipsin pinta-ala kuitenkin on A=πab.
Missä virhe?

Väärin valittu, heh heh, tuo käyttämäsi on ympyrälle sopiva pinta-alan alkio, ellipsille se on

dA =1/2 ab dt,

josta sitten A = ∫dA = πab.

Frank Ayres:Differential equations.

POLAR CORDINATES: Let (r,t) be a general point of a curve r=f(t).

1/2*r^2*dt is an element of area.

Se parametri t ei ole mikään napakoordinaatiston kulma, se on vain parametri!

Näet sen seuraavasti:

napakoordinaatiston kulmalle  φ pätee:

tan(φ) = y/x,

ja käyttämällesi parametrille t pätee:

tan(t) = b/a y/x = b/a tan(φ).

Siksi et voi käyttää pinta-alkiolle kaavaa dA = 1/2 r^2 dt vaan se oikea dA:n lauseke on johdettava erikseen.

Minulla oli x=acost ja y=bsint joten

y/x= asin t/acost=b/a*tant 

joten boldattu on väärin.

No eihän tuolla ole väliä, tuo on vain kirjoitusvirhe. Ihan samalla tavalla tuosta sun kaavasta:

tan(φ) = y/x= asin t/acost = b/a*tant

saa, että

tan(φ) ≠ tan(t) eli φ≠t,

eli parametri t ei voi olla napakulma, koska tuo φ on.

PPo kirjoitti:

Edelleenkin napakoordinaateissa dA=1/2*r^2*dt  alla olevan linkin mukaan

https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

.

PS. Jos olisin käyttänyt pinta-alkiona dA=ydx =-absin^2tdt niin silloin

A=4∫ydx(x:0—>a)=4∫(-absin^2tdt)(t:π/2—>0)=....=πab

Vaan missä virhe?

Virhe on edelleen siinä, että tuo t ei ole napakoordinaatti, vaan φ =arctan (y/x) on.

Laskuvirheiden korjaus

Nyt ymmärsin. (theta=ß)

tanß=b/a*tant—>

(1+tan^2ß)dß=b/a*(1+tan^2t)dt

dA=1/2*r^2*dß=(a^2cos^2+b^2sin^2)*b/a*(1+tan^2t)/(1+b^2/a^2*tan^2t)*dt=.....=1/2abdt—>

Kun ß=0, niin t=0 ja kun ß=2π, niin t=2π

A=∫1/2*abdt=....=πab kuten pitääkin.

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108

Tässä onkin nyt hyvä tilaisuus kysyä, että päteekö tuossa paperissa johtamani  kaava, joka on siellä lopussa, mille tahansa pystystä lähtevälle ellipsin sektorille ?  Koko ellipsille se ainakin pätee, eli laittamalla alfa =2pi=>tan(2A/(ab))=0=>2A/(ab)=2pi=>A=pi*ab.   (Siinä ihan alalaidassa on ympyrän erikoistapus, mutta siitä ei tarvi välittää)

https://aijaa.com/Lvtnci

PPo
Seuraa 
Viestejä14502

Bolzma kirjoitti:
Tässä onkin nyt hyvä tilaisuus kysyä, että päteekö tuossa paperissa johtamani  kaava, joka on siellä lopussa, mille tahansa pystystä lähtevälle ellipsin sektorille ?  Koko ellipsille se ainakin pätee, eli laittamalla alfa =2pi=>tan(2A/(ab))=0=>2A/(ab)=2pi=>A=pi*ab.   (Siinä ihan alalaidassa on ympyrän erikoistapus, mutta siitä ei tarvi välittää)

https://aijaa.com/Lvtnci[/quote]Mielestäni raamitettu tulos pätee kun tan⍺ on määritelty.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat