Seuraa 
Viestejä1

Lähtiskö joltakulta todistus tähän?

Jos suora leikkaa ylöspäin aukeavan paraabelin kahdessa pisteessä, paraabeli on leikkauskohtien välissä suoran alapuolella.

Sivut

Kommentit (35)

Eusa
Seuraa 
Viestejä16951

Kirjoitetaan y=kx²+lx+m. Tangentin kulmakerroin saadaan derivaattasuorasta 2kx+l.

Koska kulmakerroinfunktio on jatkuva saaden nollakohdan arvolla x=-l/2k ja koska k ei voi olla nolla, paraabelin minimi tulee vain kerran. Paraabelin leikkaava suora on aina jonkin sen tangentin suuntainen, koska funktio on jatkuva ja derivoituva (tähän löytyy todistus).

Saadaan ehto sille, että käyrän osa voisi olla sitä leikkaavan suoran yläpuolella:
- tangentin kulmakertoimen on vaihdettava merkkiä muuallakin kuin paraabelin minimissä eli funktion olisi saatava useampia arvoja samalla x:n arvolla (vrt. ympyrän yhtälö)

Tämä tarkoittaisi, että myös derivaattoja tulisi olla useampia samalla x:n arvolla. Derivaattayhtälöstä kuitenkin huomataan, että se on jokaisella lähtöjoukon alkiolla on yksi ja vain yksi maalijoukon kuva-alkio. Mot.

Mikään nättihän tuo käsienheiluttelu näin kännykällä näpyteltynä ei ole, mutta kyllä siinä kaikki perustelut taitaa olla. ;)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2524

Olisi hyvä tietää millä tasolla tehtävää ratkotaan, onko kyseessä lukion tehtävä ym.

Yksi tapa on seuraava:

Parabeli on toisen asteen polynomin y = P(x) = a x² + bx + c kuvaaja ja ylöspäin aukeavuus tarkoittaa, että  toinen derivaatta P''(x) = 2a > 0. Suoran yhtälö on y = Ax + B. Tiedetään, että suora ja parabeli leikkaavat toisensa pisteissä a ja b. Silloin funktio f(x) = P(x) - Ax - B on myös toisen asteen polynomi, jolla nollakohdat x = a ja x = b. Itseasiassa f(x) on myös parabeli, joka aukeaa ylöspäin, koska f''(x) = P''(x) = 2a. Ylöspäin aukeavana funktio f on negatiivinen välillä ]a,b[ eli parabeli P on suoran alapuolella tällä välillä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2524

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Olisi hyvä tietää millä tasolla tehtävää ratkotaan, onko kyseessä lukion tehtävä ym.

Yksi tapa on seuraava:

Parabeli on toisen asteen polynomin y = P(x) = a x² + bx + c kuvaaja ja ylöspäin aukeavuus tarkoittaa, että  toinen derivaatta P''(x) = 2a > 0. Suoran yhtälö on y = Ax + B. Tiedetään, että suora ja parabeli leikkaavat toisensa pisteissä a ja b. Silloin funktio f(x) = P(x) - Ax - B on myös toisen asteen polynomi, jolla nollakohdat x = a ja x = b. Itseasiassa f(x) on myös parabeli, joka aukeaa ylöspäin, koska f''(x) = P''(x) = 2a. Ylöspäin aukeavana funktio f on negatiivinen välillä ]a,b[ eli parabeli P on suoran alapuolella tällä välillä.

Oops sentään, tuossa on kaksi eri merkitystä noille a ja b. Korjataan, nollakohtia merkitään nyt x₁ ja x₂ :

Parabeli on toisen asteen polynomin y = P(x) = a x² + bx + c kuvaaja ja ylöspäin aukeavuus tarkoittaa, että  toinen derivaatta P''(x) = 2a > 0. Suoran yhtälö on y = Ax + B. Tiedetään, että suora ja parabeli leikkaavat toisensa pisteissä  x₁ ja x₂. Silloin funktio f(x) = P(x) - Ax - B on myös toisen asteen polynomi, jolla nollakohdat x = x ₁ ja

x = x₂. Itseasiassa f(x) on myös parabeli, joka aukeaa ylöspäin, koska f''(x) = P''(x) = 2a. Ylöspäin aukeavana funktio f on negatiivinen välillä ]x ₁,x₂[ eli parabeli P on suoran alapuolella tällä välillä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

PPo
Seuraa 
Viestejä14507

starlight kirjoitti:
Lähtiskö joltakulta todistus tähän?

Jos suora leikkaa ylöspäin aukeavan paraabelin kahdessa pisteessä, paraabeli on leikkauskohtien välissä suoran alapuolella.

y1=kx+b ja y2=ax^2+bx+c ,a>0

y2-y1=kx+b-ax^2-bx-c=0 kun x=x1  tai x=x2, x1<x2—>

y2-y1=-a(x-x1)(x-x2)

Kun x1<x<x2, niin x-x1>0 ja x-x2<0 ja -a<0—>

y2-y1=-a(x-x1)(x-x2)>0 (2 negatiivista tekijää)—>

y2>y1 kun x1<x<x2 eli väite.

PPo
Seuraa 
Viestejä14507

starlight kirjoitti:
Lähtiskö joltakulta todistus tähän?

Jos suora leikkaa ylöspäin aukeavan paraabelin kahdessa pisteessä, paraabeli on leikkauskohtien välissä suoran alapuolella.

Indeksit korjattu

y2=kx+b ja y1=ax^2+bx+c ,a>0

y2-y1=kx+b-ax^2-bx-c=0 kun x=x1  tai x=x2, x1<x2—>

y2-y1=-a(x-x1)(x-x2)

Kun x1<x<x2, niin x-x1>0 ja x-x2<0 ja -a<0—>

y2-y1=-a(x-x1)(x-x2)>0 (2 negatiivista tekijää)—>

y2>y1 kun x1<x<x2 eli väite.

Näinonnäreet
Seuraa 
Viestejä985

Suora: kx+d

Parabeli: ax^2+bx+c, a>0

Noiden erotus:  -ax^2+(k-b)x+(d-c)

Tuo on alaspäin aukeava parabeli, jonka 0-kohdat ovat samat kuin suoran ja alkuperäisen parabelin leikkauspisteet. Niiden välissä erotusfunktion arvo >0, eli suora on parabelin "yläpuolella".

Eusa
Seuraa 
Viestejä16951

käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Antamani todistus sisälsi konveksi/konkaavi -funktioisuuden; tutkitaan onko leikkaavan suoran kanssa yhdensuuntainen tangentti funktiolle sen alapuolella: ylösaukeavalle paraabelille aina näin on, koska vain yksi minimi ja funktio jatkuu positiiviseen äärettömään sekä vasemmalle että oikealle.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä465

Eusa kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Antamani todistus sisälsi konveksi/konkaavi -funktioisuuden; tutkitaan onko leikkaavan suoran kanssa yhdensuuntainen tangentti funktiolle sen alapuolella: ylösaukeavalle paraabelille aina näin on, koska vain yksi minimi ja funktio jatkuu positiiviseen äärettömään sekä vasemmalle että oikealle.

Voihan Eusa! Ipse dixit!

Eusa
Seuraa 
Viestejä16951

käyttäjä-7929 kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Antamani todistus sisälsi konveksi/konkaavi -funktioisuuden; tutkitaan onko leikkaavan suoran kanssa yhdensuuntainen tangentti funktiolle sen alapuolella: ylösaukeavalle paraabelille aina näin on, koska vain yksi minimi ja funktio jatkuu positiiviseen äärettömään sekä vasemmalle että oikealle.

Voihan Eusa! Ipse dixit!

Mitä yrität inkuttaa? Kuvittelemaasi argumentaatiovirhettä en huomaa - valista siis missä kohdin ontuu.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä465

käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Tarkkana pitäisi olla. Tarkoitin tietenkin, että tehtävässä mainittu ylöspäin aukeava paraabeli on konveksi funktio.

Eusa
Seuraa 
Viestejä16951

käyttäjä-7929 kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Tarkkana pitäisi olla. Tarkoitin tietenkin, että tehtävässä mainittu ylöspäin aukeava paraabeli on konveksi funktio.

Ymmärretty toki tuo, että tarkoitit paraabelin olevan poissulkevasti koveksi XOR konkaavi ja tässä tapauksessa kyseessä konveksi. Mutta eikö juuri tuo konveksisuus ole todistamisen kohde?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä14507

Eusa kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Tarkkana pitäisi olla. Tarkoitin tietenkin, että tehtävässä mainittu ylöspäin aukeava paraabeli on konveksi funktio.

Ymmärretty toki tuo, että tarkoitit paraabelin olevan poissulkevasti koveksi XOR konkaavi ja tässä tapauksessa kyseessä konveksi. Mutta eikö juuri tuo konveksisuus ole todistamisen kohde?

Kyseessä on ilmeisesti lukiolaisen esittämä tehtävä.

Toisen asteen polynomin kuvaaja on selvillä joten tehtävän väite on havainnollisesti itsestään selvä.

Väitteen laskennalliseen todentamiseen riittää toisen asteen polynomin tekijöihin jako nollakohtien avulla.  ks viesti 5.

JPI
Seuraa 
Viestejä27212

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Tarkkana pitäisi olla. Tarkoitin tietenkin, että tehtävässä mainittu ylöspäin aukeava paraabeli on konveksi funktio.

Ymmärretty toki tuo, että tarkoitit paraabelin olevan poissulkevasti koveksi XOR konkaavi ja tässä tapauksessa kyseessä konveksi. Mutta eikö juuri tuo konveksisuus ole todistamisen kohde?

Kyseessä on ilmeisesti lukiolaisen esittämä tehtävä.

Toisen asteen polynomin kuvaaja on selvillä joten tehtävän väite on havainnollisesti itsestään selvä.

Väitteen laskennalliseen todentamiseen riittää toisen asteen polynomin tekijöihin jako nollakohtien avulla.  ks viesti 5.

Juu, jo "sielunsa silmin" on äärimmäisen helppo nähdä, että väitä on itsestäänselviö ja että sen tarkempi matemaattinen todistus on käytännlssä ajanhukkaa/tarpeetonta.
No... voi siinä todistellessa tosin hieman osa matematiikkaa kertaantua, joten ehkä pienen pieni pedagoginen arvonsa sillä lie.

3³+4³+5³=6³

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä465

Eusa kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Asiaa on suora seuraus siitä että paraabeli on konveksi funktio.

Tarkkana pitäisi olla. Tarkoitin tietenkin, että tehtävässä mainittu ylöspäin aukeava paraabeli on konveksi funktio.

Ymmärretty toki tuo, että tarkoitit paraabelin olevan poissulkevasti koveksi XOR konkaavi ja tässä tapauksessa kyseessä konveksi. Mutta eikö juuri tuo konveksisuus ole todistamisen kohde?

Kuten SIJr jo huomautti, funktion 2.derivaatta  f'= 2a > 0 joten 1. derivaatta on kasvava funktio. Ja tämänhän näkee siitäkin, että f' = 2a x + b joka on kasvava funktio.Tällainen funktio on jopa tarkasti konveksi.Aloittajan etsimä tulos on suora seuraus konveksisuudesta.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat