Matematiikkakilpailun tehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tosiaan lukion matem. kilpailun tehtävä:

(x+2)^(1/3) + (x+3)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = 0

Enpä osannut ratkaista, mitäs vinkkejä osaisitte antaa..

Kommentit (15)

Vierailija

Ratkaisumenetelmiä on varmaan monia. En tiedä miten tällaisesta annettaisiin pisteitä:

Selvästi ainakin x = -3 on ratkaisu (sijoittamalla näkee, -1+0+1=0). Koska kunkin termin derivaatta on positiivinen, koko vasemman puolen derivaatta on positiivinen, joten yhtälöllä ei ole kuin enintään tuo yksi ratkaisu.

Vierailija
S.J.
Tosiaan lukion matem. kilpailun tehtävä:

(x+2)^(1/3) + (x+3)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = 0

Enpä osannut ratkaista, mitäs vinkkejä osaisitte antaa..

Näyttäisi kyllä siltä että tuossa tulee yksikäsitteisyys ongelmia,kun

x<-2, koska negatiivisen luvun kuten x=-1 kuutiojuuri ei ole

yksikäsitteinen vaan (-1)^(1/3)= -1 tai 1/2+-1/2*sqrt(3)*I.

Voihan se olla että tuo ratkaisu x=-3 kelpaa mutta epäilen?

Mahtaako olla mikään lukiotehtävä ensinkään?

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Veikkaisin, että funktion x^(1/3) saa tietää aidosti kasvavaksi ilman derivaattaakin. Tällöin summan kaikki termit ovat aidosti kasvavia, joten myös itse lausekekin on aidosti kasvava. x=-3 on siten ainoa ratkaisu.

Eikös se ollut niin, että x^(1/3) on määritelty reaalilukujen joukossa kaikilla reaaliluvuilla, mutta kuutiojuuri x vain epänegatiivisilla? Muistankohan oikein? Tehtävässä ei puhuta kuutiojuurista mitään, joten haarojen kanssa ei tällöin tarvitse leikkiä.

Vierailija
Puuhikki
Eikös se ollut niin, että x^(1/3) on määritelty reaalilukujen joukossa kaikilla reaaliluvuilla, mutta kuutiojuuri x vain epänegatiivisilla?

Toisin päin.

Se, onko x = -3 ratkaisu, riippuu tehtävän muotoilusta. Jos yhtälö oli merkitty murtopotensseilla, ratkaisua ei ole, sillä murtopotenssi ei ole määritelty negatiivisilla reaaliluvuilla. Jos yhtälössä oli juurimerkit, x = -3 on ratkaisu. Ratkaisun yksikäsitteisyys johtuu, kuten jo todettu, yhtälön vasemman puolen määräämän funktion aidosta kasvavudesta.

Kompleksijuuria tuskin tarvitsee ottaa huomioon, jos kyseessä on lukion matematiikkakilpailun tehtävä.

Vierailija
lasikatto
Eikös tuolla vähän niinkuin kiistetä tuo negatiivisten reaalilukujen kuutiojuuri ja potenssi 1/3 myös.

Ei. Siellä vain mainitaan, että _kompleksiarvoisen_ kuutiojuuren päähaaraksi on sovittu haara, jossa kuutiojuuren imaginaariosa on positiivinen. Sivulla jopa sanotaan, että jokaisella reaaliluvulla on yksikäsitteinen reaalinen kuutiojuuri.

Kyseessä on siis kaksi eri funktiota: toinen on tyyppiä R -> R ja toinen on C -> C. Lukion matematiikkakilpailun tehtävässä ei voi olla kyse kompleksisesta kuutiojuuresta.

MathWorldin artikkelissa muuten samaistetaan merkinnät kuutiojuuri(x) ja x^{1/3}. Tämä on hämännyt itseäni monesti. Ilmeisesti kyse on kuitenkin vain siitä, että näin tehtäessä x^{1/3} pitää ajatella vain symbolisena merkintänä. Eli se ei tarkoita murtopotenssia, vaan on vain keino välttyä kirjoittamasta juurimerkkiä. Tai sitten jossain on erikseen sovittu, että murtopotenssin eksponenttia ei saa lavennella miten sattuu. Onko jollain syvempää näkemystä asiaan?

Vierailija
Samuli

MathWorldin artikkelissa muuten samaistetaan merkinnät kuutiojuuri(x) ja x^{1/3}. Tämä on hämännyt itseäni monesti. Ilmeisesti kyse on kuitenkin vain siitä, että näin tehtäessä x^{1/3} pitää ajatella vain symbolisena merkintänä. Eli se ei tarkoita murtopotenssia, vaan on vain keino välttyä kirjoittamasta juurimerkkiä. Tai sitten jossain on erikseen sovittu, että murtopotenssin eksponenttia ei saa lavennella miten sattuu. Onko jollain syvempää näkemystä asiaan?

Voisitko hieman selventää? En ihan suoraan näe, miten eksponentin laventaminen liittyy tähän, tai miten se yleensäkään vaikuttaa mihinkään. Mikä lisäksi mielestäsi on ero murtopotenssin ja juuren ottamisen välillä?

Vierailija
Lance
Samuli

MathWorldin artikkelissa muuten samaistetaan merkinnät kuutiojuuri(x) ja x^{1/3}. Tämä on hämännyt itseäni monesti. Ilmeisesti kyse on kuitenkin vain siitä, että näin tehtäessä x^{1/3} pitää ajatella vain symbolisena merkintänä. Eli se ei tarkoita murtopotenssia, vaan on vain keino välttyä kirjoittamasta juurimerkkiä. Tai sitten jossain on erikseen sovittu, että murtopotenssin eksponenttia ei saa lavennella miten sattuu. Onko jollain syvempää näkemystä asiaan?




Voisitko hieman selventää? En ihan suoraan näe, miten eksponentin laventaminen liittyy tähän, tai miten se yleensäkään vaikuttaa mihinkään. Mikä lisäksi mielestäsi on ero murtopotenssin ja juuren ottamisen välillä?

Ok. Huomasin juuri tuon laventamisasian, joten kommentoinkin nyt tähän heti perään.

Eli laventaminen tosiaan ei ole sallittua, jos (kantaluvun ollessa negatiivinen) eksponentin nimittäjä muuttuu laventamisen seurauksena parittomasta parilliseksi. Tämä siksi, että jos nimittäjä on parillinen, murtopotenssia ei ole määritelty negatiivisille kantaluvuille. Kuitenkin parittoman nimittäjän tapauksessa negatiivisetkin kantaluvut kelpaavat.

Ja joihinkin aiempiin kommenttina, että kompleksisiksi ei taida kyllä ainakaan mitään reaalilukua saada kuutiojuuria ottamalla.

Edelleen jää kyllä epäselväksi, miksi murtopotenssi ja juuren ottaminen pitäisi eritellä omiksi laskutoimituksiksi/funktioiksi, kun kyseessä on käsitääkseni kuitenkin yksi ja sama olio.

Vierailija
Lance
Ja joihinkin aiempiin kommenttina, että kompleksisiksi ei taida kyllä ainakaan mitään reaalilukua saada kuutiojuuria ottamalla.

Niin kuutiojuuren arvoksi on kai sovittu se reaalinen arvo, mutta yhtälöllä

x^n=a, nЄZ+, aЄR

On n ratkaisua, jotka sijaitsevat tasavälein kompeksitason origokeskisellä ympyrällä.

Esimerkiksi yhtälöllä x^3=27 ratkaisu on x=3 tai x=-3/2±(3/2)i√3

Vierailija
Lance
Kuitenkin parittoman nimittäjän tapauksessa negatiivisetkin kantaluvut kelpaavat.

Eivät ne negatiiviset kantaluvut käy (melkein) missään tapauksessa, kuten huomaa seuraavasta:

-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = kuudes_juuri((-1)^2) = kuudes_juuri(1) = 1.

Koska halutaan, ettei -1 ole 1, on joko kiellettävä eksponentin 1/3 laventaminen tai sitten hyväksyttävä, ettei negatiivinen kantaluku käy. (Siirtyminen murtopotenssista juureen tulee murtopotenssin määritelmästä, joten sitä ei voi kritisoida.)

Kuutiojuuren tapauksessa samaa ongelmaa ei ole, joten murtopotenssilla ja juurella on tosiaan oleellinen ero.

Vierailija
Samuli
lasikatto
Eikös tuolla vähän niinkuin kiistetä tuo negatiivisten reaalilukujen kuutiojuuri ja potenssi 1/3 myös.



Ei. Siellä vain mainitaan, että _kompleksiarvoisen_ kuutiojuuren päähaaraksi on sovittu haara, jossa kuutiojuuren imaginaariosa on positiivinen. Sivulla jopa sanotaan, että jokaisella reaaliluvulla on yksikäsitteinen reaalinen kuutiojuuri.

Kyseessä on siis kaksi eri funktiota: toinen on tyyppiä R -> R ja toinen on C -> C. Lukion matematiikkakilpailun tehtävässä ei voi olla kyse kompleksisesta kuutiojuuresta.

MathWorldin artikkelissa muuten samaistetaan merkinnät kuutiojuuri(x) ja x^{1/3}. Tämä on hämännyt itseäni monesti. Ilmeisesti kyse on kuitenkin vain siitä, että näin tehtäessä x^{1/3} pitää ajatella vain symbolisena merkintänä. Eli se ei tarkoita murtopotenssia, vaan on vain keino välttyä kirjoittamasta juurimerkkiä. Tai sitten jossain on erikseen sovittu, että murtopotenssin eksponenttia ei saa lavennella miten sattuu. Onko jollain syvempää näkemystä asiaan?

Ei pitäisi luottaa liikaa Wolframiin tai Mapleen/vastaaviin.

Mapleenkin joutui väsäämään tällaisen:

w := proc (x) if x < -4 then -abs(x+2)^(1/3)-abs(x+3)^(1/3)-abs(x+4)^(1/3) elif -4 <= x and x < -3 then -abs(x+2)^(1/3)-abs(x+3)^(1/3)+abs(x+4)^(1/3) elif -3 <= x and x < -2 then -abs(x+2)^(1/3)+abs(x+3)^(1/3)+abs(x+4)^(1/3) else abs(x+2)^(1/3)+abs(x+3)^(1/3)+abs(x+4)^(1/3) end if end proc;

että sai kuvaajan "oikein" ,kun siis halutaan funktio R->R:ään.

Kyllä sen varmaan saa helpomminkin.

Hieno käppyrä tuli ja siitäkin näkee että x=-3 on nollakohta.
(ei tosin ole mikään todiste,
Todisteenhan sai siis kokeilemalla arvoa x=-3.)

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10604
Liittynyt16.3.2005

Minä en muista, että olisin joskus kuullut, että olisi jotain eroa juurilla ja murtopotensseilla. Voisiko joku valaista, missä noista on sovittu. Ja varsinkin, missä on sovittu, että nuo olisivat eri asia? Ei tullut tuollaista lukiossa eikä yliopistolla eikä polilla eteen.
Sillä, mitä joku johonkin tietokoneohjelmaan on säveltänyt, ei kuulu millään lailla matematiikkaan, vaan ohjelmoijan omaan kieroon mielikuvitukseen.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Vierailija
Lasikatto

Mapleenkin joutui väsäämään tällaisen:

w := proc (x) if x < -4 then -abs(x+2)^(1/3)-abs(x+3)^(1/3)-abs(x+4)^(1/3) elif -4 <= x and x < -3 then -abs(x+2)^(1/3)-abs(x+3)^(1/3)+abs(x+4)^(1/3) elif -3 <= x and x < -2 then -abs(x+2)^(1/3)+abs(x+3)^(1/3)+abs(x+4)^(1/3) else abs(x+2)^(1/3)+abs(x+3)^(1/3)+abs(x+4)^(1/3) end if end proc;

herneet nenään vetänyt o_turunen
Minä en muista, että olisin joskus kuullut, että olisi jotain eroa juurilla ja murtopotensseilla. Voisiko joku valaista, missä noista on sovittu. Ja varsinkin, missä on sovittu, että nuo olisivat eri asia? Ei tullut tuollaista lukiossa eikä yliopistolla eikä polilla eteen.
Sillä, mitä joku johonkin tietokoneohjelmaan on säveltänyt, ei kuulu millään lailla matematiikkaan, vaan ohjelmoijan omaan kieroon mielikuvitukseen.



Tämä ketju ei ole vielä kovin pitkä joten sen voisi lukea kokonaan
ennen kuin alkaa esittää kommentteja ad homini.

Kun lukee alempana olevasta linkistä edes irroittamani
lainauksen voi ymmärtää että pc-softille on silloin tällöin
annettava äärimmäisen yksityiskohtaiset ohjeet, jotta
ne toimisivat matematiikan sääntöjen mukaan, eikä
omavaltaisesti. Siinä mielessä ohjelmien "säätäminen"
liittyy kovastikin matematiikkaan.

http://mathworld.wolfram.com/CubeRoot.html

Mathematica and other symbolic algebra programs that return results valid over the entire complex plane therefore return complex results for . For example, in Mathematica, ComplexExpand[(-1)^(1/3)] gives the result . This behavior can be changed by loading the package Miscellaneous`RealOnly`.

Jos asiassa on vielä epäselvää, on foorumi avoin
puhtaalle matemaattiselle jargonille ilman ohjelmia
yms. Antaa palaa sitten vaan!

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10604
Liittynyt16.3.2005

Hohhoijaa. On tainnut joku muukin vetäistä herneen nenään.
Matikka on matikkaa, ja tietokoneohjelmat ovat asia erikseen. Minä en matikasta ymmärrä yhtään mitään, mutta pystyn vääntämään koodia siinä kuin joku toinenkin. Tuossa ei tarvita muuta kuin prosessorin käyttöohjeen tavaaminen. Usein helpottaa akronyymien hallinta. Tosin noita ei kukaan (ainakaan minä) kolmea vuotta kauemmin muista. Sitten vain selataan taulukkokirjaa, ja kehitellään näppärän näköinen kuvio näytölle. Jos tyylikkäämpää halutaan, niin etsitään äänikortin käyttöohje ja sävelletään FFT-ohjelma, ja julistetaan suuren saavutuksen syntymistä.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Uusimmat

Suosituimmat