Seuraa 
Viestejä2

Miksi lauseke (x^2 – 1 ) on lausekkeen (x^n – 1) tekijä, kun n on parillinen positiivinen kokonaisluku?

Kiehtoo, mutta en ymmarra :(

Kommentit (11)

hmk
Seuraa 
Viestejä1034

Selvitä ensin itsellesi, mikä yhteys on polynomin nollakohdilla ja sen tekijöillä. Ratkaise sen jälkeen polynomin (x^n – 1) reaaliset nollakohdat, kun n on parillinen. Sovella sitten tuota em. yhteyttä.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

PPo
Seuraa 
Viestejä14502

Nickname kirjoitti:
Miksi lauseke (x^2 – 1 ) on lausekkeen (x^n – 1) tekijä, kun n on parillinen positiivinen kokonaisluku?

Kiehtoo, mutta en ymmarra :(

a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+.........+b^(n-1))

n=2k

x^2k-1=(x^2)^k-1^k)=(x^2-1)*((x^2)^(2k-1)+(x^2)^(2k-2)+......+x^2+1)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
pöhl
Seuraa 
Viestejä936

Induktio n suhteen. Kun n=2, on x^2-1=(x^2-1)*1. Oletetaan, että väite pätee kun n<=k. Tällöin x^{n+2}-1=x^2*x^n-1=x^2*(x^n-1)+x^2-1. Nyt induktio oletuksen mukaan x^2-1|x^n-1 ja selvästi x^2-1|x^2-1, joten x^2-1|x^{n+2}-1.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Tässä vielä annettujen lisäksi yksi tapa käyttäen tunnettua (?) geometrisen sarjan osasummakaavaa:  

1 - yⁿ =  (1 - y)(1 + y + y² + ... + yⁿ⁻¹).

Tohon kun sijoittaa y = x² niin silloin saa kaavan:

1 - x²ⁿ =  (1 - x²)(1 + x² + (x²)² + ... + (x²)ⁿ⁻¹),

ja tostahan näkee, että  (1 - x²) on tosiaan lausekkeen 1 - x²ⁿ tekijäpolynomi.

PS.Jos haluaa vielä merkit oikein niin kertoo tuon luvulla -1 jolloin:

x²ⁿ - 1 =  ( x² - 1)(1 + x² + (x²)² + ... + (x²)ⁿ⁻¹).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Asiaa voi tosiaankin lähestyä eri suunnista, yksi tie on se, että kirjoitetaan suoraan hajotelma x²ⁿ - 1 = (xⁿ + 1)(xⁿ - 1), mikä on selvästi luvallista. Nyt sitten pitäisi hajotella tekijöihin (kokonaislukujen renkaassa) nuo lausekkeet, jotta sieltä pulpahtaisi se haluttu x² - 1 tekijäksi lausekkeelle x²ⁿ - 1. Onnistuu kyllä, mutta miten tekisit tuon?

Tämä siis eräänlaisena jatkokysymyksenä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä16950

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Asiaa voi tosiaankin lähestyä eri suunnista, yksi tie on se, että kirjoitetaan suoraan hajotelma x²ⁿ - 1 = (xⁿ + 1)(xⁿ - 1), mikä on selvästi luvallista. Nyt sitten pitäisi hajotella tekijöihin (kokonaislukujen renkaassa) nuo lausekkeet, jotta sieltä pulpahtaisi se haluttu x² - 1 tekijäksi lausekkeelle x²ⁿ - 1. Onnistuu kyllä, mutta miten tekisit tuon?

Tämä siis eräänlaisena jatkokysymyksenä.


Siis (xⁿ - 1):hän se oli tutkittavana. Järjestetään siis:
(xⁿ - 1) = (x²ⁿ - 1 ) / (xⁿ + 1).

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä16950

Jaa, luinkin huonosti aloituksen.

(x²ⁿ - 1) / (x² - 1) -kokonaislukujaollisuus on nimeonomaan tutkittavana (parillisuus mainittu alfoina).

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

hmk
Seuraa 
Viestejä1034

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Asiaa voi tosiaankin lähestyä eri suunnista, yksi tie on se, että kirjoitetaan suoraan hajotelma x²ⁿ - 1 = (xⁿ + 1)(xⁿ - 1), mikä on selvästi luvallista. Nyt sitten pitäisi hajotella tekijöihin (kokonaislukujen renkaassa) nuo lausekkeet, jotta sieltä pulpahtaisi se haluttu x² - 1 tekijäksi lausekkeelle x²ⁿ - 1. Onnistuu kyllä, mutta miten tekisit tuon?

Tämä siis eräänlaisena jatkokysymyksenä.

Jos n on pariton, niin -1 on polynomin (xⁿ + 1) nollakohta ja +1 on polynomin (xⁿ - 1) nollakohta. Siis ensimmäisellä polynomilla on tekijä (x+1) ja jälkimmäisellä (x-1). Siispä polynomilla (x²ⁿ - 1) on tekijä (x+1)(x-1) = (x²-1).

Jos taas n on parillinen (n = 2k), niin hajotelman jälkimmäinen tekijä (xⁿ - 1) voidaan lausua samanlaisena hajotelmana kuin alkuperäinen. Jos nyt k on pariton, niin edellisen kohdan päättely toimii. Jos k on parillinen, niin jälkimmäiselle tekijälle voidaan tehdä jälleen uusi hajotelma (k = 2m). Iteroidaan, kunnes saadaan hajotelma, jossa eksponentti on pariton.

Tämä iteraatio selvästi loppuu, koska kokonaisluvulla 2n on alkulukuhajotelma 2^a * p^b * q^c *..., missä p, q, ... ovat parittomia (kakkosta suurempia) alkulukuja. Kun yo. iteraatiota on tehty a kertaa, saadaan hajotelma, jossa on pariton eksponentti. Löydetty hajotelma on alkuperäisen polynomin tekijä, jolla on tekijänä (x²-1).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

PPo
Seuraa 
Viestejä14502

hmk kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Asiaa voi tosiaankin lähestyä eri suunnista, yksi tie on se, että kirjoitetaan suoraan hajotelma x²ⁿ - 1 = (xⁿ + 1)(xⁿ - 1), mikä on selvästi luvallista. Nyt sitten pitäisi hajotella tekijöihin (kokonaislukujen renkaassa) nuo lausekkeet, jotta sieltä pulpahtaisi se haluttu x² - 1 tekijäksi lausekkeelle x²ⁿ - 1. Onnistuu kyllä, mutta miten tekisit tuon?

Tämä siis eräänlaisena jatkokysymyksenä.

Jos n on pariton, niin -1 on polynomin (xⁿ + 1) nollakohta ja +1 on polynomin (xⁿ - 1) nollakohta. Siis ensimmäisellä polynomilla on tekijä (x+1) ja jälkimmäisellä (x-1). Siispä polynomilla (x²ⁿ - 1) on tekijä (x+1)(x-1) = (x²-1).

Jos taas n on parillinen (n = 2k), niin hajotelman jälkimmäinen tekijä (xⁿ - 1) voidaan lausua samanlaisena hajotelmana kuin alkuperäinen. Jos nyt k on pariton, niin edellisen kohdan päättely toimii. Jos k on parillinen, niin jälkimmäiselle tekijälle voidaan tehdä jälleen uusi hajotelma (k = 2m). Iteroidaan, kunnes saadaan hajotelma, jossa eksponentti on pariton.

Tämä iteraatio selvästi loppuu, koska kokonaisluvulla 2n on alkulukuhajotelma 2^a * p^b * q^c *..., missä p, q, ... ovat parittomia (kakkosta suurempia) alkulukuja. Kun yo. iteraatiota on tehty a kertaa, saadaan hajotelma, jossa on pariton eksponentti. Löydetty hajotelma on alkuperäisen polynomin tekijä, jolla on tekijänä (x²-1).

Yllä oleva suoraviivaisesti
a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+.........+b^(n-1))

n=2k

x^2k-1=(x^2)^k-1^k)=(x^2-1)*((x^2)^(k-1)+(x^2)^(k-2)+......+x^2+1)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

hmk kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Asiaa voi tosiaankin lähestyä eri suunnista, yksi tie on se, että kirjoitetaan suoraan hajotelma x²ⁿ - 1 = (xⁿ + 1)(xⁿ - 1), mikä on selvästi luvallista. Nyt sitten pitäisi hajotella tekijöihin (kokonaislukujen renkaassa) nuo lausekkeet, jotta sieltä pulpahtaisi se haluttu x² - 1 tekijäksi lausekkeelle x²ⁿ - 1. Onnistuu kyllä, mutta miten tekisit tuon?

Tämä siis eräänlaisena jatkokysymyksenä.

Jos n on pariton, niin -1 on polynomin (xⁿ + 1) nollakohta ja +1 on polynomin (xⁿ - 1) nollakohta. Siis ensimmäisellä polynomilla on tekijä (x+1) ja jälkimmäisellä (x-1). Siispä polynomilla (x²ⁿ - 1) on tekijä (x+1)(x-1) = (x²-1).

Jos taas n on parillinen (n = 2k), niin hajotelman jälkimmäinen tekijä (xⁿ - 1) voidaan lausua samanlaisena hajotelmana kuin alkuperäinen. Jos nyt k on pariton, niin edellisen kohdan päättely toimii. Jos k on parillinen, niin jälkimmäiselle tekijälle voidaan tehdä jälleen uusi hajotelma (k = 2m). Iteroidaan, kunnes saadaan hajotelma, jossa eksponentti on pariton.

Tämä iteraatio selvästi loppuu, koska kokonaisluvulla 2n on alkulukuhajotelma 2^a * p^b * q^c *..., missä p, q, ... ovat parittomia (kakkosta suurempia) alkulukuja. Kun yo. iteraatiota on tehty a kertaa, saadaan hajotelma, jossa on pariton eksponentti. Löydetty hajotelma on alkuperäisen polynomin tekijä, jolla on tekijänä (x²-1).

Kyllä, juuri noin tuon voi tehdä ja tuossa tuo parillinen n = 2k on se mielenkiintoisempi kohta, koska siinä tehdään tuota iteraatiota. Tuossa parillisessa tapauksessa siis sekä x² - 1 ja x² + 1 ovat lausekkeen (x²ⁿ - 1) tekijöitä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat