Seuraa 
Viestejä2

En oikein ymmärrä, miksi tarvitaan kolme kiertoa koordinaattiakselien suhteen, jotta koordinaatisto saataisiin avaruudessa haluttuun asentoon. Miksei kaksi riitä?

Kuvitellaan "tavallisen" xyz-koordinaatiston akselit avaruuteen johonkin "outoon" asentoon, ja halutaan siis kiertää se tavalliseen asentoon, yz-taso paperin (näytön) tasoon (y-akseli suoraan ylös) ja x-akseli siitä suoraan kohti katsojaa.

Oletetaan origo paperin tasoon. Kierretään akselistoa vaikkapa ensin y-akselin suhteen niin, että z-akseli tulee paperin tasoon (z-akselille on kaksi mahdollista suuntaa, alaviistoon tai yläviistoon) ja sen jälkeen tämän uuden z-akselin suhteen niin, että myös y-akseli tulee paperin tasoon. Valmis, kaksi kiertoa.

Kommentit (5)

JPI
Seuraa 
Viestejä28876

Käyttäjä19157 kirjoitti:
En oikein ymmärrä, miksi tarvitaan kolme kiertoa koordinaattiakselien suhteen, jotta koordinaatisto saataisiin avaruudessa haluttuun asentoon. Miksei kaksi riitä?

Kuvitellaan "tavallisen" xyz-koordinaatiston akselit avaruuteen johonkin "outoon" asentoon, ja halutaan siis kiertää se tavalliseen asentoon, yz-taso paperin (näytön) tasoon (y-akseli suoraan ylös) ja x-akseli siitä suoraan kohti katsojaa.

Oletetaan origo paperin tasoon. Kierretään akselistoa vaikkapa ensin y-akselin suhteen niin, että z-akseli tulee paperin tasoon (z-akselille on kaksi mahdollista suuntaa, alaviistoon tai yläviistoon) ja sen jälkeen tämän uuden z-akselin suhteen niin, että myös y-akseli tulee paperin tasoon. Valmis, kaksi kiertoa.

Yksikin kierto riittää kun se tehdään kaikille kolmelle akselille. Tavallaan koordinaatiston kierto tehdäänkin aina kaikille kolmelle akselille, vaikkakin erikoistapauksissa jokin akseli silloin voi jäädä ennalleen.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation. .

Kätevintä rotaatiot ovat kvaternioilla, niistä linkki yllä. Ainakin tietokoneohjelmoinnissa kvaternioilla rotatoiminen on kätevintä.

3³+4³+5³=6³

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2760

JPI kirjoitti:
Käyttäjä19157 kirjoitti:
En oikein ymmärrä, miksi tarvitaan kolme kiertoa koordinaattiakselien suhteen, jotta koordinaatisto saataisiin avaruudessa haluttuun asentoon. Miksei kaksi riitä?

Kuvitellaan "tavallisen" xyz-koordinaatiston akselit avaruuteen johonkin "outoon" asentoon, ja halutaan siis kiertää se tavalliseen asentoon, yz-taso paperin (näytön) tasoon (y-akseli suoraan ylös) ja x-akseli siitä suoraan kohti katsojaa.

Oletetaan origo paperin tasoon. Kierretään akselistoa vaikkapa ensin y-akselin suhteen niin, että z-akseli tulee paperin tasoon (z-akselille on kaksi mahdollista suuntaa, alaviistoon tai yläviistoon) ja sen jälkeen tämän uuden z-akselin suhteen niin, että myös y-akseli tulee paperin tasoon. Valmis, kaksi kiertoa.

Yksikin kierto riittää kun se tehdään kaikille kolmelle akselille. Tavallaan koordinaatiston kierto tehdäänkin aina kaikille kolmelle akselille, vaikkakin erikoistapauksissa jokin akseli silloin voi jäädä ennalleen.

Hmm, eihän yhtä kiertoa kai voi tehdä kolmelle eri akselille, tai sitten en ymmärrä mitä haet takaa.  Aina nimittäin riittää yksi kulman φ suuruinen kierto tietyn akselin ympäri, kun akselin määrää yksikkövektori n. Tämän tiesi jo Euler (1775):

Euler's rotation theorem

Tavallaan annettu rotaatio R vain on mitä on, mutta se voidaan konstruoida monella tavalla, esimerkiksi ylläolevaan tapaan kulman φ verran n:n määräämän akselin ympäri, jolloin merkitään R = R(φ,n) tai sitten se voidaan konstruoida peräkkäin kolmesta eri rotaatiosta  Eulerin kulmien tapauksessa, jolloin ne kolme rotaatioakselia eivät ole ortogonaaleja keskenään.

Kiertoakselien lukumäärä siis riippuu siitä, miten halutaan annettua rotaatiota havannollistaa tai tietty sovellus helpotttuu kun käytetään Eulerin kulmia tms. Se mikä ei muutu on tarvittavien parametrien lukumäärä, yleiseen rotaatioon tarvitaan aina 3 parametria.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17876

Kolmen kierron vaatimus tulee monikappaletarkastelusta.

Kun vaikkapa planeettaa kiertää usea satelliitti kaikenlaisilla mahdollisilla ympyräradoilla, on riittävää perustaa kolmen akselin aito sisätuloavaruus. Silloin jokainen kiertorata voidaan kuvata noiden kolmen akselin suhteen määriteltyjen kiertojen lineaarialgebrallisena summana. Kvaternioilla siis kätevää imaginaarisesti hoidella.

Kaksi akselia ei pysty kuvaamaan kierto-osuutta, joka kiertää juuri tuossa kahden akselin määrittämässä tasossa.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Kyttääjä
Seuraa 
Viestejä1156

Käyttäjä19157 kirjoitti:
En oikein ymmärrä, miksi tarvitaan kolme kiertoa koordinaattiakselien suhteen, jotta koordinaatisto saataisiin avaruudessa haluttuun asentoon. Miksei kaksi riitä?

Kaksi riittää. Tein kerran analyyttiseen avaruusgeometriaan liittyvän sovellukseen, ja siinä kappaleen kierto (koordinaatiston kierto) toteutettiin kahdella kulmalla.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat