Seuraa 
Viestejä4

Olen nyt tätä pyöritellyt pari tuntia, mutta ei tule mitään järkevää:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Mitä on f(x)?

Sivut

Kommentit (28)

hmk
Seuraa 
Viestejä1076

Tuohon yhtälöön on mahdollista sijoittaa x:n paikalle eräs yksinkertainen x:n lauseke siten, että näin saadussa yhtälössä vasemmalla puolella esiintyy edelleen f(x):ää ja f(1-x):ää. Käyttämällä alkuperäistä yhtälöä voit sitten eliminoida siitä tuon f(1-x):n.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
N.N.
Seuraa 
Viestejä4

Sijoitin x:n tilalle 1-x:n.

Sitten kerroin saadun uuden yhtälön -2:lla

Sitten laskin tämän viimeisimmän yhtälön yhteen alkuperäisen yhtälön kanssa, jolloin f(1-x):t supistuvat pois.

Siitä saa sitten f(x) = x² + x +1.

Japetus
Seuraa 
Viestejä12478

Ratkaistaan ensin yhtälöstäsi f(1-x) ja f(x) erikseen:

f(1-x) = (3x^2 - 5x + 7 - f(x))/2,
f(x) = 3x^2 - 5x + 7 - 2f(1-x)).

Sijoitetaan sitten 1-x jälkimmäiseen:

f(x) = 3x^2 - 5x + 7 - 2f(1-x)),
f(1-x) = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7 - 2f(1-(1-x) = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7 - 2f(x).

Näin saadaan:

(3x^2 - 5x + 7 - f(x))/2 = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7 - 2f(x)
=> f(x) = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7)/3.

Olli S. paljastaa salaisuutensa: "Mä puhun tahallani ristiin, että Japetus saisi oikeita aiheita syyttää mua."
Sääpeikolla leikkaa: "No ihmisen vaikutus ei ole alle 50% ja ei ole alle 50%... eiköhän se olisi silloin 50-50 suurimman osan mukaan papereista... näin nopeasti pääteltynä"
Keijona ymmärtää naisia: "Onkohan sellaista munasolua edes olemassa ? Onko joku nähnyt sellaisen?"

hmk
Seuraa 
Viestejä1076

N.N. kirjoitti:
Sijoitin x:n tilalle 1-x:n.

Sitten kerroin saadun uuden yhtälön -2:lla

Sitten laskin tämän viimeisimmän yhtälön yhteen alkuperäisen yhtälön kanssa, jolloin f(1-x):t supistuvat pois.

Siitä saa sitten f(x) = x² + x +1.

Jep, juuri noin. :)

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Japetus
Seuraa 
Viestejä12478

Japetus kirjoitti:
Ratkaistaan ensin yhtälöstäsi f(1-x) ja f(x) erikseen:

f(1-x) = (3x^2 - 5x + 7 - f(x))/2,
f(x) = 3x^2 - 5x + 7 - 2f(1-x)).

Sijoitetaan sitten 1-x jälkimmäiseen:

f(x) = 3x^2 - 5x + 7 - 2f(1-x)),
f(1-x) = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7 - 2f(1-(1-x) = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7 - 2f(x).

Näin saadaan:

(3x^2 - 5x + 7 - f(x))/2 = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7 - 2f(x)
=> f(x) = 3(1-x)^2 - 5(1-x) + 7)/3.

Äh, kopioitui väärä termi. Viimeisen rivin pitäisi olla: f(x) = (6(1-x)^2 - 10(1-x) + 14 - 3x^2  + 5x - 7)/3, mistä sitten voi sievennellä.

Olli S. paljastaa salaisuutensa: "Mä puhun tahallani ristiin, että Japetus saisi oikeita aiheita syyttää mua."
Sääpeikolla leikkaa: "No ihmisen vaikutus ei ole alle 50% ja ei ole alle 50%... eiköhän se olisi silloin 50-50 suurimman osan mukaan papereista... näin nopeasti pääteltynä"
Keijona ymmärtää naisia: "Onkohan sellaista munasolua edes olemassa ? Onko joku nähnyt sellaisen?"

PPo
Seuraa 
Viestejä14979

N.N. kirjoitti:
Olen nyt tätä pyöritellyt pari tuntia, mutta ei tule mitään järkevää:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Mitä on f(x)?

Vaihtoehtoinen ratkaisu jo esitetylle hienolle ratkaisulle.

f(x)=ax^2+bx+c jolloin f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c

Sijoitetaan nämä ehtoyhtälöön ja sievennetään.—>

3ax^2+(-4a-b)x+2a+2b+3c=3x^2-5x+7

3a=3,-4a-b=-5,2a+2b+3c=7—>a=b=c=1

Eusa
Seuraa 
Viestejä17902

Yrite f(x) = (x+1)².

(x+1)² + 2(1-x+1)² = x²+2x+1 + 2×2²-2×4x+2×x² = 3x²-6x+9.

Puuttuu x-2. eli -x + 2×-(1-x) -> f(x) = (x+1)² - x.

Tällainen oli metodini ilman kynää ja paperia.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä572

PPo kirjoitti:
N.N. kirjoitti:
Olen nyt tätä pyöritellyt pari tuntia, mutta ei tule mitään järkevää:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Mitä on f(x)?

Vaihtoehtoinen ratkaisu jo esitetylle hienolle ratkaisulle.

f(x)=ax^2+bx+c jolloin f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c

Sijoitetaan nämä ehtoyhtälöön ja sievennetään.—>

3ax^2+(-4a-b)x+2a+2b+3c=3x^2-5x+7

3a=3,-4a-b=-5,2a+2b+3c=7—>a=b=c=1

Kuka sinulle on kertonut, että f on polynomi? Ei ainakaan aloittajan tehtävässä tällaista mainintaa ole. Mistä tiedät siis, ettei f:n määritelmään liity joku muukin funktio joka tuossa ehtoyhtälössä supistuu pois?

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä572

N.N. kirjoitti:
Sijoitin x:n tilalle 1-x:n.

Sitten kerroin saadun uuden yhtälön -2:lla

Sitten laskin tämän viimeisimmän yhtälön yhteen alkuperäisen yhtälön kanssa, jolloin f(1-x):t supistuvat pois.

Siitä saa sitten f(x) = x² + x +1.

Tämä on hyvä ratkaisu ilman mitään muita oletuksia f:stä kuin annetut .

PPo
Seuraa 
Viestejä14979

käyttäjä-7929 kirjoitti:
PPo kirjoitti:
N.N. kirjoitti:
Olen nyt tätä pyöritellyt pari tuntia, mutta ei tule mitään järkevää:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Mitä on f(x)?

Vaihtoehtoinen ratkaisu jo esitetylle hienolle ratkaisulle.

f(x)=ax^2+bx+c jolloin f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c

Sijoitetaan nämä ehtoyhtälöön ja sievennetään.—>

3ax^2+(-4a-b)x+2a+2b+3c=3x^2-5x+7

3a=3,-4a-b=-5,2a+2b+3c=7—>a=b=c=1

Kuka sinulle on kertonut, että f on polynomi? Ei ainakaan aloittajan tehtävässä tällaista mainintaa ole. Mistä tiedät siis, ettei f:n määritelmään liity joku muukin funktio joka tuossa ehtoyhtälössä supistuu pois?

Kuten mainitsin, N.N:n ratkaisu oli hieno.

Nyt kuitenkin oli kyse lukiomatematiikan  tehtävästä ja siellä vähemmän käsitellään funktionaaliyhtälöitä joten valistunut arvaukseni on ihan perusteltu ja johtihan se oikeaan lopputulokseen:-)

PPo
Seuraa 
Viestejä14979

käyttäjä-7929 kirjoitti:
PPo kirjoitti:
N.N. kirjoitti:
Olen nyt tätä pyöritellyt pari tuntia, mutta ei tule mitään järkevää:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Mitä on f(x)?

Vaihtoehtoinen ratkaisu jo esitetylle hienolle ratkaisulle.

f(x)=ax^2+bx+c jolloin f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c

Sijoitetaan nämä ehtoyhtälöön ja sievennetään.—>

3ax^2+(-4a-b)x+2a+2b+3c=3x^2-5x+7

3a=3,-4a-b=-5,2a+2b+3c=7—>a=b=c=1

Kuka sinulle on kertonut, että f on polynomi? Ei ainakaan aloittajan tehtävässä tällaista mainintaa ole. Mistä tiedät siis, ettei f:n määritelmään liity joku muukin funktio joka tuossa ehtoyhtälössä supistuu pois?

On helppo osoittaa, että kuvailemaasi fuktiota ei ole.

Jos olisi tällainen funktio g, niin sille pätisi, että

g(x)=-2*g(1-x)—>g(1-x)=-2*g(1-(1-x))=-2*g(x), joten

g(x)=-2*(-2*g(x))=4g(x)—>g(x)=0

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä572

PPo kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
PPo kirjoitti:
N.N. kirjoitti:
Olen nyt tätä pyöritellyt pari tuntia, mutta ei tule mitään järkevää:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Mitä on f(x)?

Vaihtoehtoinen ratkaisu jo esitetylle hienolle ratkaisulle.

f(x)=ax^2+bx+c jolloin f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c

Sijoitetaan nämä ehtoyhtälöön ja sievennetään.—>

3ax^2+(-4a-b)x+2a+2b+3c=3x^2-5x+7

3a=3,-4a-b=-5,2a+2b+3c=7—>a=b=c=1

Kuka sinulle on kertonut, että f on polynomi? Ei ainakaan aloittajan tehtävässä tällaista mainintaa ole. Mistä tiedät siis, ettei f:n määritelmään liity joku muukin funktio joka tuossa ehtoyhtälössä supistuu pois?

On helppo osoittaa, että kuvailemaasi fuktiota ei ole.

Jos olisi tällainen funktio g, niin sille pätisi, että

g(x)=-2*g(1-x)—>g(1-x)=-2*g(1-(1-x))=-2*g(x), joten

g(x)=-2*(-2*g(x))=4g(x)—>g(x)=0

Kritisoin vain sitä, että lähdit suoraan 2. asteen  polynomista liikkeelle etkä mitenkään perustellut sitä.

NN ei tehnyt mitään oletuksia.

2. asteen polynomin saa näinkin: f(x) = a x^2 + b x +c

f(0)   + 2 f(1) = 7

f(1) + 2 f(0) = 5 joten - 2 f(1) - 4 f(0) = - 10 ja - 3 f(0) = - 3 ja siis f(0) = 1

f(2) + 2 f(- 1) = 9

f(- 1) + 2 f(2) = 15, - 2 f(- 1)  - 4 f(2) = - 30 joten - 3 f(2) = - 21 ja siis f(2) = 7

f( - 1)  = 1

c = 1

a - b  + 1 = 1 eli a = b

4a + 2 b + 1 = 7 ja  a = b = 1

f(x) = x^2 + x  + 1

Mutta kuten sanottu, NN:n ratkaisu menee suoraan asiaan eikä kaipaa mitään lisätodisteluja.

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä572

käyttäjä-7929 kirjoitti:
PPo kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
PPo kirjoitti:
N.N. kirjoitti:
Olen nyt tätä pyöritellyt pari tuntia, mutta ei tule mitään järkevää:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Mitä on f(x)?

Vaihtoehtoinen ratkaisu jo esitetylle hienolle ratkaisulle.

f(x)=ax^2+bx+c jolloin f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c

Sijoitetaan nämä ehtoyhtälöön ja sievennetään.—>

3ax^2+(-4a-b)x+2a+2b+3c=3x^2-5x+7

3a=3,-4a-b=-5,2a+2b+3c=7—>a=b=c=1

Kuka sinulle on kertonut, että f on polynomi? Ei ainakaan aloittajan tehtävässä tällaista mainintaa ole. Mistä tiedät siis, ettei f:n määritelmään liity joku muukin funktio joka tuossa ehtoyhtälössä supistuu pois?

On helppo osoittaa, että kuvailemaasi fuktiota ei ole.

Jos olisi tällainen funktio g, niin sille pätisi, että

g(x)=-2*g(1-x)—>g(1-x)=-2*g(1-(1-x))=-2*g(x), joten

g(x)=-2*(-2*g(x))=4g(x)—>g(x)=0

Kritisoin vain sitä, että lähdit suoraan 2. asteen  polynomista liikkeelle etkä mitenkään perustellut sitä.

NN ei tehnyt mitään oletuksia.

2. asteen polynomin saa näinkin: f(x) = a x^2 + b x +c

f(0)   + 2 f(1) = 7

f(1) + 2 f(0) = 5 joten - 2 f(1) - 4 f(0) = - 10 ja - 3 f(0) = - 3 ja siis f(0) = 1

f(2) + 2 f(- 1) = 9

f(- 1) + 2 f(2) = 15, - 2 f(- 1)  - 4 f(2) = - 30 joten - 3 f(2) = - 21 ja siis f(2) = 7

f( - 1)  = 1

c = 1

a - b  + 1 = 1 eli a = b

4a + 2 b + 1 = 7 ja  a = b = 1

f(x) = x^2 + x  + 1

Mutta kuten sanottu, NN:n ratkaisu menee suoraan asiaan eikä kaipaa mitään lisätodisteluja.

f(x) + 2 f(1-x) = x^2 + x + 1  + 2 ( (1-x)^2 + (1-x) + 1) = 3 x^2  - 5 x + 7 kuten pitääkin.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2762

Epäilen aloittajan tehtävän olevan mikään lukion tehtävä, toki jossain matematiikkalukiossa voi käydä yliopistolla suorittamassa sitä ja tätä. Hieno kysymys toki ja hienoja ratkaisuja.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17902

Eusa kirjoitti:
Yrite f(x) = (x+1)².

(x+1)² + 2(1-x+1)² = x²+2x+1 + 2×2²-2×4x+2×x² = 3x²-6x+9.

Puuttuu x-2. eli -x + 2×-(1-x) -> f(x) = (x+1)² - x.

Tällainen oli metodini ilman kynää ja paperia.

Siis kyllähän tuon näkee, että lineaarisista riippuvuuksista ja riippumattomuuksista on kysymys.

Riippumattoman ryhmän vuorovaikutuksen tuloksena tarvitaan 3x², siksi yrite siten, että se ainakin tulee ja loput korjaantuu sitten alempiasteisilla riippumattomilla termeillä.

Jos verrataan fysiikkaan, vakio naulaa koordinaatiston tarkastelupisteen, 1. asteen termi nopeuden ja 2. asteen termi kertoo vuorovaikutusten aiheuttamasta kiihtyvyydestä. Olisi voinut yrittää myös (x-1)² ja korjaus olisi ollut sitten +3x...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

wisti
Seuraa 
Viestejä14793

Tehtävä olisi esim. yo-kirjoituksiin sopiva, jos olisi kysytty funktiota, joka toteuttaa annetun ehdon eikä ratkaisua. Tuollaisena se olisi ollut valtakunnallisen matematiikkakilpailun ns. avoimen sarjan (abit) viimeinen tehtävä.

QS
Seuraa 
Viestejä5519

Lainaus:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Komppaan PPo:n päätelmää, jossa deg(f) = 2. Kahden polynomin yhteenlasku tuottaa polynomin, jonka aste toteuttaa deg ( f + g ) <= max[ deg (f), deg (g) ]. Oikean puolen deg = 2, josta seuraa deg(f) <= 2, jonka PPo totesi laskunsa aluksi.

Pöllähti mieleeni siksikin, että jokin aika sitten eri aihetta ropatessani ohimennen painoin mieleeni, että polynomien yhteenlasku on tensorialgebra, joka voidaan esittää muodossa ℝ⊕V⊕(V⊗V)⊕(V⊗V⊗V) ..., missä ℝ on salaari, V ensimmäisen asteen termi, V⊗V toisen asteen jne. Kahden muuttujan polynomien tapauksessa vektoriavaruuden V kantavektorit olisivat esim. {x,y}. Tehtävässä kanta olisi {x, x-1}. Tuo tensorialgebra on itsekin lineaarinen vektoriavaruus, josta voidaan päätellä oikean puolen avulla vasemman puolen vektorien f(x) ja f(1-x) olevan tensorialgebrana muotoa  ℝ⊕V⊕(V⊗V). Noiden aste on siis kaksi.

Tämä muminani ei tosin liity hienosti ratkaisemaanne tehtävään juuri mitenkään.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17902

QS kirjoitti:
Lainaus:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Komppaan PPo:n päätelmää, jossa deg(f) = 2. Kahden polynomin yhteenlasku tuottaa polynomin, jonka aste toteuttaa deg ( f + g ) <= max[ deg (f), deg (g) ]. Oikean puolen deg = 2, josta seuraa deg(f) <= 2, jonka PPo totesi laskunsa aluksi.

Pöllähti mieleeni siksikin, että jokin aika sitten eri aihetta ropatessani ohimennen painoin mieleeni, että polynomien yhteenlasku on tensorialgebra, joka voidaan esittää muodossa ℝ⊕V⊕(V⊗V)⊕(V⊗V⊗V) ..., missä ℝ on salaari, V ensimmäisen asteen termi, V⊗V toisen asteen jne. Kahden muuttujan polynomien tapauksessa vektoriavaruuden V kantavektorit olisivat esim. {x,y}. Tehtävässä kanta olisi {x, x-1}. Tuo tensorialgebra on itsekin lineaarinen vektoriavaruus, josta voidaan päätellä oikean puolen avulla vasemman puolen vektorien f(x) ja f(1-x) olevan tensorialgebrana muotoa  ℝ⊕V⊕(V⊗V). Noiden aste on siis kaksi.

Tämä muminani ei tosin liity hienosti ratkaisemaanne tehtävään juuri mitenkään.

Liittyipä minun muminaani kuitennii. ;D

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

hmk
Seuraa 
Viestejä1076

QS kirjoitti:
Lainaus:

f(x) + 2 f(1-x) = 3x² - 5x + 7

Komppaan PPo:n päätelmää, jossa deg(f) = 2. Kahden polynomin yhteenlasku tuottaa polynomin, jonka aste toteuttaa deg ( f + g ) <= max[ deg (f), deg (g) ]. Oikean puolen deg = 2, josta seuraa deg(f) <= 2, jonka PPo totesi laskunsa aluksi.

?

Olkoon f(x) = x^3 +3x² - 5x + 7 ja g(x) = -x^3. Nyt

f(x) + g(x) = 3x² - 5x + 7.

Oikean puolen deg = 2, mutta deg(f) = 3.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat