Seuraa 
Viestejä45973

Pituuden lämpölaajeneminenhan esitetään esim. L=L0(1+αΔT). Eli siis L0+ΔL=L0(1+αΔT). Siis ΔL=L0αΔT. Miten tämä riippuvuus muka on lineaarinen? Jos lähdetään muokkaamaan yhtälöä

dL=L0αdT

ja separoidaan ja integroidaan (määrättynä, rajat 0 ja T) ja logaritmin määritelmää hyväksi käyttäen päästään muotoon

L=L0*e^(αT).

Tietysti tämä on pienellä lämpötilavaihteluvälillä likipitäen lineaarinen, koska α on niin pieni, mutta eikö pituuden lämpölaajeneminen kuitenkin pitäisi esittää mieluummin eksponentiaalisena muutoksena?

Sivut

Kommentit (33)

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

L = L0(1+aT).

dL = L0adT.

Merkitään L0a = k, alkuehtojen mukaan luonnonvakio.

dL/dT = k.

Mihin tässä tarvitaan logaritmeja tai e:tä?

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

o_turunen
L = L0(1+aT).

dL = L0adT.

Merkitään L0a = k, alkuehtojen mukaan luonnonvakio.

dL/dT = k.

Mihin tässä tarvitaan logaritmeja tai e:tä?

Hiton hyvä kysymys! Kävipä nyt niin että L0 on mulla näköjään kahdessa merkityksessä. Alussa se tarkoittaa pituutta jossakin lämpötilassa T, josta lämpötilanmuutos alkaa. Lopussa se taas on pituus lämpotilassa 0K.

Nyt pitää ottaa aikalisä...

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

No nyt!

dL = LαdT

L = pituus lämpötilassa T.

dL/L = αdT

Lämpötilassa 0K pituus on L0. Lämpötilassa T pituus on L. Joten kun integroidaan vasen puoli, niin rajat ovat L0 ja L. Oikealla puolella ne taas ovat 0 ja T. Saadaan

lnL - lnL0 = αT
ln(L/L0) = αT

Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan

L/L0 = e^(αT)

eli

L = L0*e^(αT)

Ja pallo teille...

jokiris
LO on vakio (alkupituus), ei muuttuja....

Mitähän L0:ta tarkoitat? Jos ensimmäisessä viestissä olevaa, niin lue ketjua pari viestiä alemmas. Siellä L0 on oikeasti vakio. Nimittäin pituus lämpötilassa 0K. Ensimmäisen viestin merkinnät ovat sekaisin, joten älä sitä tuijota.

Ja jos luulet ettei alkupituus muutu sen mukaan, mistä lämpötilasta lähsetään, niin olet väärässä. Alkupituus MUUTTUU sen mukaan, mistä lämpötilasta lähdetään, joten sekin oikeasti on muuttuja.

Yhtälö dL=LOadT kuvaa lämpölaajenemista jossa alkupituus LO on vakio, siis lämpölaajenemista missä alkupituus tunnetaan. Jos LO olisi muuttuja(jota se ei ole), kuten kale ehdottaa, niin ratkaisuksi todellakin tulisi eksponenttiyhtälö. Ongelma on vain siinä, ettei yhtälöllä dL=LadT ole mitään tekemistä lämpölaajenemisen kanssa.

jokiris
Yhtälö dL=LOadT kuvaa lämpölaajenemista jossa alkupituus LO on vakio, siis lämpölaajenemista missä alkupituus tunnetaan. Jos LO olisi muuttuja(jota se ei ole), kuten kale ehdottaa, niin ratkaisuksi todellakin tulisi eksponenttiyhtälö.



L0 on vakio vain vakiolämpötilassa. Jossakin toisessa lämpötilassa kappaleen pituus ei enää ole L0 vaan L0+ΔL, missä ΔL on pituuden muutos. Selvästikin alkupituus riippuu lämpötilasta, missä kappale lähtöhetkellä on. Kappaleen pituus L on ilmiselvästi siis

L = L(T).

jokiris
Ongelma on vain siinä, ettei yhtälöllä dL=LadT ole mitään tekemistä lämpölaajenemisen kanssa.

Mietipä uudelleen...

Otetaanpa esimerkiksi koe, jossa pitää määrittää kappaleen pituuden lämpölaajenemiskerroin α. Kappaleen pituus mitataan tietyissä lämpötiloissa. Näin saadaan mittaustuloksista parit (L1,T1), (L2,T2), ... , (Ln,Tn). Nämä pisteet sijoitetaan TL-koordinaatistoon ja sovitetaan (vaikka PNS-menetelmällä) pistejoukkoon suora. Tämän suoran kulmakerroin on nyt ΔL/ΔT. Seuraavaksi ratkaistaan yhtälö ΔL=L0αΔT α:n suhteen. Saadaan

α=1/L0*ΔL/ΔT

Kysymys kuuluu:

MIKÄ HELKKARI ON L0! Onko se ensimmäiseksi mitattu pituus L1, viimeiseksi mitattu pituus Ln vai pituus jossakin ennalta määrätyssä lämpötilassa, esim 0°C tai 20°C ? Se minkä pituuksista valitset vaikuttaa pituuden lämpölaajenemiskertoimen arvoon α, vaikka sen pitäisi olla vakio.

Yrität väittää, että L0 on vakio. Minä taas väitän, että se riippuu lämpötilasta. Näin ollen se ei voi olla lämpötilan suhteen vakio.

Jos α on lämpötilasta riippumaton vakio, niin matematiikassani ei ole mitään vikaa. Lämpölaajeneminen olisi näin ollen paremminkin eksponentiaalista kuin lineaarista.

Vai ei muka yhtälölläni ole mitään tekemistä lämpölaajenemisen kanssa...

Kyllä kai se pituus pitäisi oikeasti lähestyä ääretöntä eksponentiaaliseti. Tuo likiarvokaava on vain käytännöllisempi, voi olla että kaikilla laskimilla (tai laskutikulla) saisi laskettua tulosta tarvittaessa.

james
Kyllä kai se pituus pitäisi oikeasti lähestyä ääretöntä eksponentiaaliseti. Tuo likiarvokaava on vain käytännöllisempi, voi olla että kaikilla laskimilla (tai laskutikulla) saisi laskettua tulosta tarvittaessa.

Olen samaa mieltä. Jos lämpötilanvaihtelut ovat vain muutamia kymmeniä asteita, niin tällä lineaarisuusoletuksella ei tehdä suuriakaan virheitä. Joskus näkee kyllä käytettävän kaavaa useiden satojen lämpötilanvaihteluiden yhteydessä, missä mielestäni tehdään jo merkittäviä virheitä.

Toivoin asiasta enemmänkin kommentteja fysiikkaa ymmärtäviltä tyypeiltä. Pitääkö tämä nyt tulkita siten, että ajatelmani on saanut hiljaisen hyväksynnän, eikä asiasta ole sen enempää huomauttamista?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35095

Yksinkertainen lineaarinen lämpölaajenemiskeroin on vain approksimaatio todellisuudesta. Sellainen pätee vain jollakin alueella referenssilämpötilan ympärillä.

Helposti voisi ajatella, että integroimalla saisi paremmin tilannetta laajemmalla alueella koskevan tuloksen. Välttämättä näin ei kuitenkaan ole, sillä oletus siitä, että lämpötilan suhteellinen muutos olisi laajalla lämpötila-alueella vakio, ei pidä paikkaansa. Jos vaaditaan parempaa mallia, pitää mitata kyseisen aineen lämpölaajeneminen ja sovittaa siihen jokin sopiva funktio. Perstuntumalta vaikuttaisi aika epäuskottavalta, että aine laajenisi eksponentiaalisesti - joskin toisinaan luonto käyttäytyy perstuntumalta epäuskottavasti.

Neutroni
Yksinkertainen lineaarinen lämpölaajenemiskeroin on vain approksimaatio todellisuudesta. Sellainen pätee vain jollakin alueella referenssilämpötilan ympärillä.

Helposti voisi ajatella, että integroimalla saisi paremmin tilannetta laajemmalla alueella koskevan tuloksen. Välttämättä näin ei kuitenkaan ole, sillä oletus siitä, että lämpötilan suhteellinen muutos olisi laajalla lämpötila-alueella vakio, ei pidä paikkaansa. Jos vaaditaan parempaa mallia, pitää mitata kyseisen aineen lämpölaajeneminen ja sovittaa siihen jokin sopiva funktio. Perstuntumalta vaikuttaisi aika epäuskottavalta, että aine laajenisi eksponentiaalisesti - joskin toisinaan luonto käyttäytyy perstuntumalta epäuskottavasti.

Minuakin jäi arveluttamaan, josko α on sittenkään vakio. Voihan olla, että se on paremminkin α(T), joka on vakio "normaaleissa" lämpötiloissa. Toisaalta kirjallisuus kyllä antaa α:n arvoksi vakion melko monella merkitsevällä numerolla, joten se kyllä viittaa vakioon. Pakko kai sitä kuitenkin vakiona pitää, ellei pystytä todentamaan sen olevan riippuvainen lämpötilasta.

Jotain on täytynyt mennä vikaan, kun lämpötilalaajenemisen LINEAARISESTA MALLISTA on "johdettu" eksponentiaalinen malli...

Todellinen laajeneminen ei ole sen enempää lineaarista, kuin eksponentiaalistakaan, mutta kyllä se taitaa lähempänä lineaarista olla.

Kale
No nyt!

dL = LαdT

L = pituus lämpötilassa T.

Eikös tuon pitäisi olla

dL = L0αdT

dL = L0 - L1
dT = T0 - T1
L0 = pituus lämpötilassa T0

elikkä L0 riippuu T0:sta samaan tahtiin kuin dL/dT=(L0 - L1)/(T0 - T1) riippuu T0:sta, jolloin lopputulos on lineaarinen.

Tollukka
Jotain on täytynyt mennä vikaan, kun lämpötilalaajenemisen LINEAARISESTA MALLISTA on "johdettu" eksponentiaalinen malli...

Todellinen laajeneminen ei ole sen enempää lineaarista, kuin eksponentiaalistakaan, mutta kyllä se taitaa lähempänä lineaarista olla.

Kale
No nyt!

dL = LαdT

L = pituus lämpötilassa T.




Eikös tuon pitäisi olla

dL = L0αdT




Sehän on sama asia. Minä käytin lämpötilassa T pituudelle merkintää L ja sinä L0.

Tollukka
dL = L0 - L1
dT = T0 - T1
L0 = pituus lämpötilassa T0



Itse asiassa sinun merkintöjä käyttäen pitäisi erotusten olla toisinpäin, koska käytät merkintöjä L0 ja T0 alkutilanteeseen kytkettynä, mutta eipä sillä isosti ole jatkon kannalta merkitystä. Tosin dL ja dT pitää korvata merkinnöillä ΔL ja ΔT.

Tollukka
elikkä L0 riippuu T0:sta samaan tahtiin kuin dL/dT=(L0 - L1)/(T0 - T1) riippuu T0:sta, jolloin lopputulos on lineaarinen.

Tuota ei voi päätellä tuosta. Päättelet muutoksen olevan lineaarista koska se on lineaarista. Ei se ole mikään todistus. Jos ihan irrallaan tästä otetaan funktio L(T) = T². Tällöin

[L(3)-L(1)]/(3-1) = (3²-1²)/2 = 4, mutta

[L(2)-L(1)]/(2-1) = (2²-1²)/1 = 3.

Jotta osoittaja ja nimittäjä muuttuisivat "samaan tahtiin" (eli murtolausekkeen arvo pysyisi samana) niin täytyy alun perin olla tieto, että L on lineaarinen.

Tässä on kyse differentiaali- ja integraalilaskennasta. dT ≠ ΔT ja dL ≠ ΔL. dT ja dL ovat differentiaaleja (eli infinitesimaalisen pieniä muutoksia) ja ΔT on lämpötilan muutos kahden tiedetyn lämpötilan välillä ja ΔL on pituuden muutos kahden tiedetyn pituuden välillä. Ellet osaa differentiaali- ja integraalilaskentaa, niin sinun on mahdoton kommentoida ajatukseni oikeellisuutta.

Lyhyesti sanottakoon, että

ΔL/ΔT → dL/dT, kun ΔT → 0. dL/dT on siis pituuden derivaatta lämpötilan suhteen.

Tämä viesti on tarkoitettu niille, jotka eivät näe lineaarisessa mallissa mitään ongelmia. Tämän jälkeen näette.

Olkoon kaledium sellainen kuvitteellinen kiinteä aine, jonka pituuden lämpölaajenemiskerroin α on tolkuttoman suuri. Olkoon α = 0,010 1/°C. Aloitetaan 1,000 m mittaisen kalediumtangon lämmittäminen 0°C:sta 100°C:een. Uusi pituus L olisi lineaarisen mallin mukaan

L = L0(1+αΔT) = 1,000m*(1+0,01 1/°C*100°C) = 2,00m.

Entäpä jos tarkasteluväli jaetaan kahteen 50°C väliin? Tarkastellaan muutosta välillä [0°C, 50°C].

L = L0(1+αΔT) = 1,000m*(1+0,01 1/°C*50°C) = 1,50m.

Tämä 1,50m on nyt uuden tarkastelun L0. Tarkastellaan väliä [50°C, 100°C]

L = L0(1+αΔT) = 1,50m*(1+0,01 1/°C*50°C) = 2,25m!

Eipä tullutkaan se 2,00m, vaan enemmän. Jos tuo 100°C jaettaisiin vielä pienempiin tarkasteluväleihin samalla periaatteella, niin tuo ero vain kasvaisi ja - uskokaa tai älkää - lähestyy juuri tuota johtamaani eksponentiaalista mallia.

Niin että se siitä lineaarisesta mallista...

Kale
Tollukka
Jotain on täytynyt mennä vikaan, kun lämpötilalaajenemisen LINEAARISESTA MALLISTA on "johdettu" eksponentiaalinen malli...

Todellinen laajeneminen ei ole sen enempää lineaarista, kuin eksponentiaalistakaan, mutta kyllä se taitaa lähempänä lineaarista olla.

Kale
No nyt!

dL = LαdT

L = pituus lämpötilassa T.




Eikös tuon pitäisi olla

dL = L0αdT




Sehän on sama asia. Minä käytin lämpötilassa T pituudelle merkintää L ja sinä L0.



Tarkoitin tuossa sitä, että L0 on kappaleen pituus jossain referenssilämpötilassa T0 (siis vakio).

Jos valitaan vaikkapa T0 = 0K

ΔL = (L - L0) = L0α(T - T0) = L0αT

eli

L = L0(1+αT)

ja tämähän on selvästi lineaarinen lämpötilan funktio, eikö? Samoin jollakin muulla referenssilämpötilan arvolla T0, L0 = L(T0), ja

L = L0(1 + αΔT) = L0(1 + αT - αT0) = L0(1 - αT0) + L0αT

Siis jälleen lineaarinen.

Kale

Tollukka
dL = L0 - L1
dT = T0 - T1
L0 = pituus lämpötilassa T0



Itse asiassa sinun merkintöjä käyttäen pitäisi erotusten olla toisinpäin, koska käytät merkintöjä L0 ja T0 alkutilanteeseen kytkettynä, mutta eipä sillä isosti ole jatkon kannalta merkitystä. Tosin dL ja dT pitää korvata merkinnöillä ΔL ja ΔT.



Ihan totta, näppäimistöstä vaan ei millään löytynyt tuota delta-nappulaa.

Kale

Tollukka
elikkä L0 riippuu T0:sta samaan tahtiin kuin dL/dT=(L0 - L1)/(T0 - T1) riippuu T0:sta, jolloin lopputulos on lineaarinen.



Tuota ei voi päätellä tuosta. Päättelet muutoksen olevan lineaarista koska se on lineaarista. Ei se ole mikään todistus. Jos ihan irrallaan tästä otetaan funktio L(T) = T². Tällöin

[L(3)-L(1)]/(3-1) = (3²-1²)/2 = 4, mutta

[L(2)-L(1)]/(2-1) = (2²-1²)/1 = 3.

Jotta osoittaja ja nimittäjä muuttuisivat "samaan tahtiin" (eli murtolausekkeen arvo pysyisi samana) niin täytyy alun perin olla tieto, että L on lineaarinen.

Tässä on kyse differentiaali- ja integraalilaskennasta. dT ≠ ΔT ja dL ≠ ΔL. dT ja dL ovat differentiaaleja (eli infinitesimaalisen pieniä muutoksia) ja ΔT on lämpötilan muutos kahden tiedetyn lämpötilan välillä ja ΔL on pituuden muutos kahden tiedetyn pituuden välillä. Ellet osaa differentiaali- ja integraalilaskentaa, niin sinun on mahdoton kommentoida ajatukseni oikeellisuutta.

Lyhyesti sanottakoon, että

ΔL/ΔT → dL/dT, kun ΔT → 0. dL/dT on siis pituuden derivaatta lämpötilan suhteen.

Kale

L = L0(1+αΔT) = 1,000m*(1+0,01 1/°C*100°C) = 2,00m.

Entäpä jos tarkasteluväli jaetaan kahteen 50°C väliin? Tarkastellaan muutosta välillä [0°C, 50°C].

L = L0(1+αΔT) = 1,000m*(1+0,01 1/°C*50°C) = 1,50m.

Tämä 1,50m on nyt uuden tarkastelun L0. Tarkastellaan väliä [50°C, 100°C]

L = L0(1+αΔT) = 1,50m*(1+0,01 1/°C*50°C) = 2,25m!

Niin että se siitä lineaarisesta mallista...

Ohhoh! Kai se on sitten uskottava kun oikein rautalangasta väännetään Aina oppii jotain uutta. Kiitos!

Tollukka
Ohhoh! Kai se on sitten uskottava kun oikein rautalangasta väännetään Aina oppii jotain uutta. Kiitos!

Eipä kestä! Itsekään en tosin ole aivan 100% varma, onko mallini oikea. Entä jos α ei olekaan vakio, vaan sekin muuttuu lämpötilan funktiona? Jos näin olisi, niin eksponentiaalinenkin malli olisi väärä.

Saattaa olla mahdollista, ettei kumpikaan malleista (eksponentiaalinen tai lineaarinen) ole oikea, vaan oikea malli sijoittuisi näiden mallien väliin. Tällöin eksponentiaalisen mallin α olisi itse asiassa vähenevä funktio α(T).

Joka tapauksessa kun tutkitaan oikeita aineita ja lämpötilanmuutos on korkeintaan muutamia kymmeniä asteita, niin lineaarinen malli toimii ihan hyvin, vaikkei se koko totuus olekaan.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35095
Kale
Tämä viesti on tarkoitettu niille, jotka eivät näe lineaarisessa mallissa mitään ongelmia. Tämän jälkeen näette.

Olkoon kaledium sellainen kuvitteellinen kiinteä aine, jonka pituuden lämpölaajenemiskerroin α on tolkuttoman suuri. Olkoon α = 0,010 1/°C.

kasvaisi ja - uskokaa tai älkää - lähestyy juuri tuota johtamaani eksponentiaalista mallia.

Niin että se siitä lineaarisesta mallista...

Lämpölaajanemiskeroin on lämpötilan funktio. Oletetaan esimerkiksi, että kaledium laajenee kaikissa lämpötiloissa lineaarisesti siten, että pituus L(T) = L0+L0*alfa0*(T-T0), jossa T0 on 0 C, L0 on pituus 0 asteen lämmössä ja alfa0 0,01 C^-1. Pituuden lämpölaajenemiskertoimen määritelmä on alfa=1/L*dL/dT, josta saadaan kalediumille alfa(T)=L0*alfa0/(L0+L0*alfa0*(T-T0))=1/(1/alfa0+(T-T0)).
50 asteen lämmössä lämpölaajenemiskerroin onkin 6,7E-3 1/C ja 200 asteen lämmössä 3,3E-3 1/C. Noissakin tapauksissa lineaarinen lämpölaajeneminen on hyvä approksimaatio kapeilla lämpötila-alueilla sen lämpötilan ympärillä, jossa kerroin on määritelty.

Jos taas kalediumin lämpölaajenemiskerroin on lämpötilasta riippumatta mainitsemasi, se tosiaan laajenee eksponentiaalisesti. Siihenkin lineaarinen approksimaatio pätee, jos tarkastellaan riittävän pientä lämpötilaväliä. Käytännön aineet eivät kuitenkaan paisu eksponentiaalisesti.

Käytännön aineilla lämpölaajeneminen on kolme kertaluokkaa pienempää kuin kalediumilla ja lineaarisen approksimaation mielekäs sovellusalue vastaavasti suurempi. Mutta silti ei kannata ottaa taulukosta raudan lämpölaajenemiskerrointa 20 asteen lämmössä ja alkaa laskemaan 1200 asteisen rautakappaleen mittoja. Virhe lienee melkoinen. 100 asteessa virhe on kuitenkin useimpiin tarkoituksiin merkityksettöman pieni.

Neutronille:
Jos luit ketjun loppuun, niin esitit paljon samoja ideoita, joita itsekin esitin. Mikä on pointtisi?

Neutroni
Lämpölaajanemiskeroin on lämpötilan funktio.

Oletko varma? Kirjallisuus (MAOL) ainakin antaa pituuden lämpölaajenemiskertoimen arvon aineesta riippuen 2-3 merkitsevän numeron tarkkuudella ilman, että mainitaan missä lämpötilassa se olisi validi. Itsekään en tosin ole vakuuttunut siitä, että se olisi vakio, mutta toistaiseksi en ole nähnyt siihenkään viittaavaa, että se muuttuisi lämpötilan funktiona, jota myös minä epäilen.
Neutroni
Oletetaan esimerkiksi, että kaledium laajenee kaikissa lämpötiloissa lineaarisesti siten, että pituus L(T) = L0+L0*alfa0*(T-T0), jossa T0 on 0 C, L0 on pituus 0 asteen lämmössä ja alfa0 0,01 C^-1. Pituuden lämpölaajenemiskertoimen määritelmä on alfa=1/L*dL/dT, josta saadaan kalediumille alfa(T)=L0*alfa0/(L0+L0*alfa0*(T-T0))=1/(1/alfa0+(T-T0)).
50 asteen lämmössä lämpölaajenemiskerroin onkin 6,7E-3 1/C ja 200 asteen lämmössä 3,3E-3 1/C. Noissakin tapauksissa lineaarinen lämpölaajeneminen on hyvä approksimaatio kapeilla lämpötila-alueilla sen lämpötilan ympärillä, jossa kerroin on määritelty.

Noinhan siinä silloin kävisi. En vain jaksa täysin uskoa tuohon lineaariseen malliin.
Neutroni
Jos taas kalediumin lämpölaajenemiskerroin on lämpötilasta riippumatta mainitsemasi, se tosiaan laajenee eksponentiaalisesti. Siihenkin lineaarinen approksimaatio pätee, jos tarkastellaan riittävän pientä lämpötilaväliä.

Aivan niin.
Neutroni
Käytännön aineet eivät kuitenkaan paisu eksponentiaalisesti.

Tuota et voi varmuudella tietää!

Tosin kun mietitään syvemmin mistä lämpölaajeneminen johtuu, niin metallihilassa olevien atomien värähtelystähän sen kai täytyy johtua. Lämpötila on suoraan verrannollinen värähdysten keskimääräiseen translaatioenergiaan eli siis T ~ ½mv². Jos tämän oletetaan olevan likipitäen harmoonista värähtelyä (mitä se varmaan onkin), niin silloin lämpötila olisi suoraan verrannollinen värähtelyn keskimääräiseen amplitudiin x eli siis T ~ ½mv² ~ x. Tämä taas viittaa pikemminkin lineaariseen kuin eksponentiaaliseen muutokseen.

Neutroni
Käytännön aineilla lämpölaajeneminen on kolme kertaluokkaa pienempää kuin kalediumilla ja lineaarisen approksimaation mielekäs sovellusalue vastaavasti suurempi. Mutta silti ei kannata ottaa taulukosta raudan lämpölaajenemiskerrointa 20 asteen lämmössä ja alkaa laskemaan 1200 asteisen rautakappaleen mittoja. Virhe lienee melkoinen. 100 asteessa virhe on kuitenkin useimpiin tarkoituksiin merkityksettöman pieni.

Niinpä!

Koska kalediumin lämpölaajenemiskerroin on tolkuton, niin tarkastellaan esimerkiksi sinkkiä, jonka lämpölaajenemiskerroin on 29,7*10^-6 1/°C. Lämpötilaa, missä näin on ei ole sanottu. Oletan (virheellisesti tai ei), että se olisi 0°C. Lisäksi oletan, että pituuden lämpölaajeneminen olisi lineaarista. Tarkasteltavan sinkkitangon pituus on 1,00000m lämpötilassa 0°C. Tällöin sinkkitangon pituus 100°C:ssa olisi

L(100)=L(0)*(1+αΔT)=1,00000m*(1+29,7*10^-6*100°C)≈1,00297m. Siis ΔL=0,00297m.

Jäähdytetään sinkkitanko takaisn 0°C:een, jolloin loppupituus luonnollisesti on 1,00000m. Tämä antaa pituuden lämpölaajenemiskertoimeksi 100°C lämpötilassa

α=1/L(100)*ΔL/ΔT=1/1,00297m*0,00297m/100°C≈29,6*10^-6 1/°C.

Tämä ei poikkea kovin paljon kirjallisuuden antamasta arvosta, mutta kuitenkin poikkeaa. Eksponentiaalisessa mallissa tämä edestakainen kääntäminen antaisi täsmälleen samat tulokset kummassakin lämpötilassa.

Lopuksi

Puhtaan matemaattisesta lähestymistavasta seuraa, että lämpölaajeneminen olisi eksponentiaalista

L=L0*e^(αΔT)

missä, L = loppupituus, L0 = aloituspituus, α = pituuden lämpölaajenemisvakio (kerroin on huono sana eksponentiaalisessa mallissa) ja ΔT = lämpötilan muutos. Lisäksi lämpölaajenemisvakio ei välttämättä ole vakio, vaan lämpötilan funktio α(T).

Metallihilan atomien värähtelystä päättelemällä päästään kuitenkin tulokseen, jonka mukaan lämpölaajeneminen olisi likipitäen lineaarista.

L = L0*(1 + αΔT)

missä merkinnät ovat samoja kuin edellä, paitsi α = pituuden lämpölaajenemiskerroin JOKA ON LÄMPÖTILAN FUNKTIO α(T)

Kumpi malleista sitten on oikea? Vaiko kumpikaan? Enpä osaa sanoa. Pitäisi melkein päästä tutkimaan laboratorioolosuhteissa.

Olkoonpa oikea kumpi malleista vaan, niin molemmat toimivat käytännän elämässä hyvin, kunhan lämpötilan muutokset eivät ole kovin suuret (satoja asteita celsiusta).

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat