korkeamman asteen osittaisderivaattaongelmaan vinkkiä?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Moikka,

Yritän ratkaista tällaista:

z = 2sin(xy)

josta osittaisderivaatta 1. aste x:n suhteen on:

dz/dx = 2ycos(xy)

ja osittaisderivaatta 2. aste x:n suhteen on:

d^2z/dx^2 = -2y^2sin(xy)

ja osittaisderivaatta 1. aste y:n suhteen on:

dz/dy = 2xcos(xy)

ja osittaisderivaatta 2. aste y:n suhteen on:

d^2z/dy^2 = -2x^2sin(xy)

Ongelmana mulla on se että en osaa muodostaa vielä tarvittavaa lisävastausta, eli

d^2z / dxdy

Kaavahan on tuo muuta en tiedä että pitääkö tuossa jotenkin derivoida? vai kertoa olemassaolevia derivaattoja? vai derivoida jonkin suhteen ja kertoa? Osaisiko joku vääntää rautalangasta että miten tuo em. esim. tässä tapauksessa lasketaan?

Kiitokset jo etukäteen!

t.

Rale

Kommentit (7)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26832
Liittynyt16.3.2005
rale74

d^2z / dxdy

Kaavahan on tuo muuta en tiedä että pitääkö tuossa jotenkin derivoida? vai kertoa olemassaolevia derivaattoja? vai derivoida jonkin suhteen ja kertoa? Osaisiko joku vääntää rautalangasta että miten tuo em. esim. tässä tapauksessa lasketaan?

Derivoit kerran kummankin muuttujan suhteen. Muistaakseni tuossa ei ole väliä kumminpäin sen tekee (ainakaan käytännön insinööriongelmissa, matemaatikkojen patologisista erikoistilanteista en mene vannomaan).

Vierailija

Ahaa, pitääkö siis derivoida ensin alkutilanteesta z = 2sin(xy) x:n suhteen, jolloin tulee 2ycos(xy) ja sitten alkutilanteesta y:n suhteen, jolloin tulee 2xcos(xy) ja tämän jälkeen kertoa nämä keskenään? vai laskea yhteen?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26832
Liittynyt16.3.2005
rale74
Ahaa, pitääkö siis derivoida ensin alkutilanteesta z = 2sin(xy) x:n suhteen, jolloin tulee 2ycos(xy) ja sitten alkutilanteesta y:n suhteen, jolloin tulee 2xcos(xy) ja tämän jälkeen kertoa nämä keskenään? vai laskea yhteen?

Ei, vaan derivoit ensin z=2*sin(x*y):n x:n suhteen ja saat dz/dx=2*y*cos(x*y). Sitten derivoit sen y:n suhteen (d/dy)(dz/dx)=-2*y*x*sin(x*y)+2*cos(x*y).

Vaihtoehtoisesti ensin y:n suhteen dz/dy=2*x*cos(x*y) ja sitten x:n suhteen (d/dx)(dz/dy)=-2*x*y*sin(x*y)+2*cos(x*y). Saatiin sama tulos, kuten pitääkin. Derivointien järjestyksen vaihdon ehdot kannattanee tarkistaa jostain, jos noita enemmän joutuu laskemaan.

Vierailija
Puuhikki
Derivointien järjestys voidaan vaihtaa jos f kuuluu C^2:een. Tämä seuraa väliarvolauseesta.

Mitä tuo C^2 tarkoittaa? Kompleksitasoako?

Uusimmat

Suosituimmat