Tolkuton yhtälöryhmä?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tämä pitäisi ratkoa perustellen. Tietokoneella saa toki
vastaukset mutta ei perusteita/välivaiheita.

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9

Jeesaisko joku vähän?

Kommentit (14)

Vierailija

Minulla on paha tapa ratkoa yhtälöryhmät sijoitusmenetelmällä. Se toimii aina, mutta ratkaisusta tulee helposti pitkä ja virheiden todennäköisyydet kasvaa.

Gauss-Jordanikaan ei tässä toimi, kun yhtälösi eivät ole lineaariset, vai? Onko täällä ketään oikeata matemaatikkoa

Vierailija

Jos tuo gaussilla aukenisi. En jaksa kokeilla tai pohtia sen pidemmälle - TV tarjoaa juuri nyt jalkapalloa. Kunhan ehdotin.

Vierailija

Ei ole aukeamassa Gauss-Jordanilla kun ei ole lineaarinen..

Ite en ainakaan tiedä muuta keinoa kuin sijoittamalla laskeminen. Tosin ei kukaan järkevä ihminen tommoista käsin lähde laskemaan kun tietokoneet hoitaa bulkkiväännön hyvin.. en oikein käsitä mikä pointti tuollaisessa kotitehtävässä on.

kytoann
Seuraa 
Viestejä1906
Liittynyt16.3.2005
jones
Tämä pitäisi ratkoa perustellen. Tietokoneella saa toki
vastaukset mutta ei perusteita/välivaiheita.

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9

Jeesaisko joku vähän?

kakkosyhtälöstä:

b(cd + c + d + 1) = 9 - cd - c - d

ja kolmosyhtälöstä

a(cd + d + c + 1) = 9 - cd - c - d

josta jo näkee, että a = b

Mutta minu pityää mennä nyt nukkumaan.

Tyhmyydelle minä olen vihainen kuin rakkikoira; mutta viisaus ei ole kaikille suotu.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
jones

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9

Kahta viimeistä yhtälö vertaamalla näkee, että b = c
Yhtälöitä 2 ja 3 vertaamalla näkee, että a = b
Sijoittamalla ne kahteen ylimpään saa yhtälöt

aaa + 3aa + 3a = 1
aad + aa + 2ad + 2a + d = 9

joista ratkaisemalla saa

d = -1 + 10/(aa + 2a +1)

Vierailija
jones
Tämä pitäisi ratkoa perustellen. Tietokoneella saa toki
vastaukset mutta ei perusteita/välivaiheita.

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9

Jeesaisko joku vähän?

Usein kannattaa tutkailla lineaarisi sijoituksia. Tässäkin
osoittautuu toimivaksi sijoitukset:

a=A-1
b=B-1
c=C-1
d=D-1

jolloin yhtälöt pelkistyvät muotoon

(1) ABC=2
(2) BCD=10
(3) CDA=10
(4) DAB=10

Kertomalla puolittain (1), (2) ja (3) saadaan

C^3(ABD)^2=200 joka yhdessä (4) kanssa antaa

C^3=2 => C = 2^(1/3) => c = C-1 = 2^(1/3)-1

Samalla tavoin saadaan A^3=2 , B^3=2 ja D^3=250

Elikä

a=b=c= 2^(1/3)-1, d=(125*2)^(1/3)-1 = 5*2^(1/3)-1

Vierailija
Gödel
jones

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9
Jeesaisko joku vähän?

sijoitukset:

a=A-1
b=B-1
c=C-1
d=D-1

jolloin

(1) ABC=2
(2) BCD=10
(3) CDA=10
(4) DAB=10

Kertomalla puolittain (1), (2) ja (3) saadaan

C^3(ABD)^2=200 joka yhdessä (4) kanssa antaa

C^3=2 => C = 2^(1/3) => c = C-1 = 2^(1/3)-1

Samalla tavoin saadaan A^3=2 , B^3=2 ja D^3=250

Elikä

a=b=c= 2^(1/3)-1, d=(125*2)^(1/3)-1 = 5*2^(1/3)-1

Aika näppärää pakko myöntää. Mistä lunttasit

Vierailija
Jim Profit
gödel
jones

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9
Jeesaisko joku vähän?

.............................

Aika näppärää pakko myöntää. Mistä lunttasit

Ei tuohon mitään lunttaamista tarvinnut.
Korkeintaan vähän kokeilua lineaarisesta
sijoituksesta muotoa a=k1A+k2 jne...

Myönnettäköön että etsin sopivan sijoituksen
tietokone avusteisesti.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005

Jatkan edellä esittämäni puolinaisen ratkaisun viime yöltä loppuun.

jones

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9

Kahta viimeistä yhtälö vertaamalla näkee, että b = c
Yhtälöitä 2 ja 3 vertaamalla näkee, että a = b
Sijoittamalla ne kahteen ylimpään saa yhtälöt

aaa + 3aa + 3a = 1
aad + aa + 2ad + 2a + d = 9

joista alemmasta saa

(d + 1)(a + 1)^2 = 10 => d = -1 + 10/(a +1)^2

ja ylemmästä

(a+1)^3 = 2 => a = b = c = 2^(1/3) - 1

eli

d = 10/(2^(1/3) + 1)^2 - 1

Mikä ei ainakaan nopeasti näytä samalta kuin edellä sijoittamalla ratkaistu. No, tässä ei käytettykään tietokonetta.

Vierailija
H
Jatkan edellä esittämäni puolinaisen ratkaisun viime yöltä loppuun.

jones

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9

Kahta viimeistä yhtälö vertaamalla näkee, että b = c
Yhtälöitä 2 ja 3 vertaamalla näkee, että a = b
Sijoittamalla ne kahteen ylimpään saa yhtälöt

aaa + 3aa + 3a = 1
aad + aa + 2ad + 2a + d = 9

joista alemmasta saa

(d + 1)(a + 1)^2 = 10 => d = -1 + 10/(a +1)^2

ja ylemmästä

(a+1)^3 = 2 => a = b = c = 2^(1/3) - 1

eli

d = 10/(2^(1/3) + 1)^2 - 1

Mikä ei ainakaan nopeasti näytä samalta kuin edellä sijoittamalla ratkaistu. No, tässä ei käytettykään tietokonetta.

Ei näytä samalta ei. Johtuu huolimattomuus(?) virheestä.

Sait d=-1+10/(a+1)^2 ja a=2^(1/3)-1 siispä

d=-1+10/2^(2/3) = 5*2^(1/3)-1 , samat on vastaukset.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
Gödel
Sait d=-1+10/(a+1)^2 ja a=2^(1/3)-1 siispä

d=-1+10/2^(2/3) = 5*2^(1/3)-1 , samat on vastaukset.


Kiitokset tarkastajalle!

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Yleensä tietokoneet laskevat tällaisia yhtälöryhmiä ns. Gröbnerin kantojen avulla. Kannattaa tutustua, jos vielä tulee vastaan polynomimuotoisia yhtälöryhmiä, eikä symbolista matikkaohjelmistoa ole käytettävissä.

Uusimmat

Suosituimmat