Seuraa 
Viestejä5671

Toisesta keskustelusta poimintoja. Kysyjälle (anonymisoitu) kiitokset kontribuutiosta kuten myös vastaajille (anonymisoitu). Tässä langussa aiheesta voi sotia lisää.

1) Fysiikassa on lukuisia vektorisuureita. Esim. paikkavektori R ja voima F. Nyt voidaan mielekkäästi muodostaa niiden sisätulo (R,F) ja ulkoinen tulo R x F. Mutta yhteenlasku R + F ei ole mielekäs. Kuitenkin eräs vektoriavaruuden perusominaisuuksia on vektoreiden yhteenlasku! Mitä vektoreita ne sellaiset (esim. nuo R ja F) ovat joita ei voida laskea yhteen?

Eräs vaustaus: R on vektori, mutta F on kotangenttiavaruuden (duaaliavaruuden) 1-muoto. Tuo 1-muotojen avaruus on vektoriavaruus, mutta eri vektoriavaruus kuin paikkavektoreiden R avaruus. Yhteenlasku F+R ei ole mielekäs, koska R ja F ovat kahden eri vektoriavaruuden alkioita, joiden yhteenlasku on määrittelemätön. Toisaalta sisätulo ja ristitulo (kiilatulo) voidaan määritellä vektoriavaruuden ja duaaliavaruuden alkoiden avulla.

-> Vastaus kyseenalaistettiin: Tietenkin esim. sisätulo on tangenttiavaruuden ja s e n duaaliavaruuden vektorien välinen, näinhän tuo duaali määritellään. Mutta miten on mahdollista muodostaa tulo (R,F) tai RxF missä R on paikkavektori alkuperäisessä monistossa ja F sen pisteessä R otetun tangenttiavaruuden vektori?

Eräs vastaus: On olemassa eri vektoriavaruuksia. On vektoriavaruus, jonka alkioina on paikkavektorit. On vektoriavaruus, jonka alkioina on voimavektorit. Eri vektoriavaruukisien alkioita ei voi laskea yhteen.

-> Vastaus kyseenalaistettiin: Kuinkas mielestäsi eri avaruuksien vektoreiden välille sitten kuitenkin voidaan muodostaa sisätulo ja "ristitulo". M = RxF ja w = (F,R) ovat täysin hyväksyttäviä mutta R+F ei.

Eräs vastaus: Appelsiineja ja perunoita ei voi laskea yhteen.

-> Vastaus kyseenalaisteettiin: Kuinkas niitä appelsiineja ja perunoita sitten voi kertoa keskenään? Jopa kahdella eri tavalla (sisätulo, "ristitulo").

2) Pistemäinen kappale liikkuu x-akselia pitkin,. Kappaleen paikka hetkellä t on x(t), nopeus on x'(t) ja kiihtyvyys x''(t). Yksiköitä ovat m, m/s ja m/s^2. On täysin luvallista kirjoittaa vaikkapa differentiaaliyhtälö x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t). Nyt kuitenkin laskettiin yhteen nopeus ja kiihtyvyys ilman mitään ongelmia!

- Eräs vastaus: Yhtälösi on täysin päätön eikä sillä ole fysiikan kanssa mitään tekemistä.

Keskustelu laantui, kunnes pidempi vastaus, joka alla.

Sivut

Kommentit (45)

QS
Seuraa 
Viestejä5671

erään QS:n vuodatus, joka olkoon jatkokeskustelun pohjana (tästä saa ja pitääkin etsiä virheitä, joita mahdollisesti mukana). Vuodatuksen kirvoitti ali-keskustelu, missä jousivoima F = -kx, tai toisin F + kx = 0 sisältää kahden vektorin yhteenlaskun.

QS kirjoitti:

Mekaniikan geometrisessa muotoilussa konfiguraatio määritellään monistoon M. Pisteet x∈M eivät kuitenkaan ole riittäviä, koska systeemin tilan määrittää paikan x(t) lisäksi nopeus v = x'(t).

Piste x∈M ja tangenttiavaruuden nopeusvektori v∈TxM riittäisivät, mutta x ja v ovat eri geometrisissa rakenteissa. M ei ole vektoriavaruus, TxM on. Paikka x siirretäänkin kotangenttiavaruuden T*xM vektoriksi siten, että vektorit ovat pareja (x,v) ∈ T*xM. Kun M = ℝ³, on T*xM:n dimensio on 2x3=6.

Kotangenttikimppu (TM)* on faasiavaruus ja (TM)*:n vektorikenttä on aikakehityksen kuvaamiseen.

(TM)* on itsekin monisto. Edellisen seurauksena (TM)*:n tangenttiavaruus pisteessä (x,v) voidaan käsitellä siten, että se on kahden avaruuden suorana summana: TxM ⊕ T*xM. Nyt pisteisiin (x,v) on kiinnitetty 6-ulotteinen (kotangenttikimpun) tangenttiavaruus. Näin x ja v ovat saman vektoriavaruuden eri komponentteja. Lisäksi tietysti TxM:n ja T*xM:n (avaruus ja duaaliavaruus) välinen yhteys löytyy sisätulolla. Tai metriikalla, jos ajattelee niin päin, että metriikka indusoi sisätulon. Yhteenlasku määritellään tyyliin (x,v)+(x,w)=(x,v+w) jne.

Voima F saadaan konfiguraatiomoniston M sileästä funktiosta V: M -> ℝ ulkoisella derivaatalla, eli F = -dV. Funktio V ∈ C∞(M) on 0-muoto. Ulkoinen derivaatta kuvaa p-muodon (p+1)-muodoksi, joten F on 1-muoto Ω¹(M) ∈ T*xM. Funktio V tässä tietysti mekaniikan potentiaalifunkio.

Voima on samalla (0,1)-tensori, ts. lineaarikuvaus F: TxM → ℝ: (x,v) → ℝ, joka syö vektorin ja tuottaa reaaliluvun. Kuvaus määritellään funktona F(x,v) = F(v) = <F,v> ∈ ℝ.

Voima valitussa koordinaatistossa (esim. karteesinen euklidinen) on edelleen differentiaali F = -dV = ( ∂V(x) / ∂xⁱ ) dxⁱ = ∂ᵢ V(x) dqⁱ, missä viimeisenä koordinaatistoesitys yleistetyillä q-koordinaateilla. Esimerkiksi jousivoima yksiulotteisessa koordinaatistossa olisi F = (d/dy) V(y) dy, mikä on 1-muoto. Tämän 1-muodon tulkitsemiseen mekaniikan kannalta voidaan palata myöhemmin.

Muotoja voidaan integroida, ja voiman F käyrällä r tekemä työ määritelläänkin käyräintegraalina W = ∫ᵣ F = ∫ᵣ (Fᵢ dxⁱ). Tutummin koordinaatistossa W = ∫ F·dr = ∫ Fᵢ dqⁱ, joka esim. karteesisessa koordinaatistossa W = ∫ (F₁(x) dx¹ + F₂(x) dx² + F₃(x) dx³), missä integroidaan 1-muotoa.

Vektorien ja muotojen välillä on olemassa kuvaus J: TxM -> T*xM ja käänteiskuvaus J⁻¹: T*xM -> TxM. Käänteiskuvaus määritellään komponenttimuodossa: J⁻¹(w) = gⁱ ʲ wⱼ = vⁱ, missä w ∈ T*xM, wⱼ ja vⁱ ovat komponentteja, ja gⁱʲ metriikan gᵢⱼ käänteismatriisi. Tyypillisissä mekaniikassa muunnos on melko näkymätön, koska 1-muodon kantavektorit dxⁱ ja komponentit wᵢ muuntuvat kantavektoreiksi eᵢ ja komponenteiksi vⁱ, joiden arvot eivät muutu. Perinteinen voimavektori on silti pohjimmiltaan 1-muodon Hodgen duaali. Kätevää, koska vektori elää samassa avaruudessa kuin paikkavektori.

Tämä muotoilu ei vielä riitä mekaniikan liikeyhtälöiden muodostamiseen, joita varten lisätään symplektinen 2-muoto (koordinaatistossa Poissonin sulut), joka käsittelee kotangenttikimpun sileää funktiota (Hamiltonin funktio). Jääköön tämä nyt tähän yleistasolle tällä kertaa.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18380

Sulla on QS jäänyt lukematta vastaukseni identiteeteistä, suureiden yksiköllisistä kantavektoreista, joilla vasta voidaan virittää ulkotulona saman kertaluokan avaruus, jossa translaatiokin on sitten mielekäs.

Ei sitä geometrista tuloa pitkään voi väistää - katsotaanpa vain...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5671

Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.

Ivan The Terrible
Seuraa 
Viestejä2416

Toisaalta niin tuo Boltzmannin kuljetusyhtälön vasen puoli niin voikohan siinäkään ihan Noin Vain ruveta summailemaan niitä derivaattoja paikan suhteen derivaattoihin liiemäärän suhteen? Jos niinku vänkäämään rupeaa...

No fyysikot vie ja matemaatikot vikisee. Näinhän se menee eikös niin Goswell?

JPI
Seuraa 
Viestejä29583

QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


No joo, tuossa esimerkissä (x(t),y(t)) on paikkavektori, mutta (r,θ(t)) ei ole, jotenkas ei se nyt kovin kummallista ole, että edellisen toka aikadetivaatta <>0, mutta jälkimmäisen toka aikaderivaatta on 0. :-)

3³+4³+5³=6³

QS
Seuraa 
Viestejä5671

JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


No joo, tuossa esimerkissä (x(t),y(t)) on paikkavektori, mutta (r,θ(t)) ei ole, jotenkas ei se nyt kovin kummallista ole, että edellisen toka aikadetivaatta <>0, mutta jälkimmäisen toka aikaderivaatta on 0. :-)

Vaan miksi ( r(t),θ(t) ) ei olisi paikkavektori. Kaikki pisteet voidaan kuvata muunnoksella T esim. juurikin karteesiseen koordinaatistoon: (x(t) ,y(t) ) = T( r(t), θ(t) ) = ( r(t) *  sin θ(t), r(t) *  cos θ(t) ), jonka seurauksena nähdään ympyrä karteesisissa koordinaateissa. Muunnos T ei tosin ole injektiivinen, mutta estääkö se polaarikoorinaatitason pisteiden paikka-ominaisuuden? En itse asiassa tiedä vastausta kysymykseeni, heitin vain ilmoille.

QS
Seuraa 
Viestejä5671

Neutroni kirjoitti:
QS kirjoitti:
Vaan miksi ( r(t),θ(t) ) ei olisi paikkavektori.

Löysin tällaisen selityksen.

https://physics.stackexchange.com/questions/258629/components-of-velocit...

Napakoordinaatiston yksikkövektorit eivät ole vakioita, vaan riippuvat paikasta (ja ajasta, jos nopeus poikkeaa nollasta). Se pitää huomioida derivoitaessa vektoreita ajan suhteen.

Kyllä, totta napakoordinaatistossa, jossa siis r(t) on etäisyys navasta ja θ(t) on kiertokulma pisteen ja napa-akselin välillä.

Mainitsemani napakoordinaatti-taso on kuitenkin erilainen. Siinä r ja θ -akselit ovat keskenään ortogonaalisia, eli siis konkreettisesti ajatellen x-akseli vaakasuora ja θ-akseli pystysuora, mikä näyttää päällisin puolin karteesiselta x,y -koordinaatistolta. Tässä yksikkövektorit ovat ajan suhteen vakioita, aivan kuten karteesisen i ja j.

Tilannetta hämärtävä seikka lieneekin enempi se, että kuvaus edellä mainitusta karteesiseen on epälineaarinen eikä lineaarinen kuvaus. Napakoordinaatti-tason infinitesimaali pinta-alaelementti kuvautuu karteesiseksi ympyräksi, mutta kuvaus venyttää ja kaartaa alkuperäisen neliön pinta-alaelementtejä.

JPI
Seuraa 
Viestejä29583

QS kirjoitti:
JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


No joo, tuossa esimerkissä (x(t),y(t)) on paikkavektori, mutta (r,θ(t)) ei ole, jotenkas ei se nyt kovin kummallista ole, että edellisen toka aikadetivaatta <>0, mutta jälkimmäisen toka aikaderivaatta on 0. :-)

Vaan miksi ( r(t),θ(t) ) ei olisi paikkavektori. Kaikki pisteet voidaan kuvata muunnoksella T esim. juurikin karteesiseen koordinaatistoon: (x(t) ,y(t) ) = T( r(t), θ(t) ) = ( r(t) *  sin θ(t), r(t) *  cos θ(t) ), jonka seurauksena nähdään ympyrä karteesisissa koordinaateissa. Muunnos T ei tosin ole injektiivinen, mutta estääkö se polaarikoorinaatitason pisteiden paikka-ominaisuuden? En itse asiassa tiedä vastausta kysymykseeni, heitin vain ilmoille.

 

3³+4³+5³=6³

JPI
Seuraa 
Viestejä29583

QS kirjoitti:
JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


No joo, tuossa esimerkissä (x(t),y(t)) on paikkavektori, mutta (r,θ(t)) ei ole, jotenkas ei se nyt kovin kummallista ole, että edellisen toka aikadetivaatta <>0, mutta jälkimmäisen toka aikaderivaatta on 0. :-)

Vaan miksi ( r(t),θ(t) ) ei olisi paikkavektori. Kaikki pisteet voidaan kuvata muunnoksella T esim. juurikin karteesiseen koordinaatistoon: (x(t) ,y(t) ) = T( r(t), θ(t) ) = ( r(t) *  sin θ(t), r(t) *  cos θ(t) ), jonka seurauksena nähdään ympyrä karteesisissa koordinaateissa. Muunnos T ei tosin ole injektiivinen, mutta estääkö se polaarikoorinaatitason pisteiden paikka-ominaisuuden? En itse asiassa tiedä vastausta kysymykseeni, heitin vain ilmoille.

 


Tota noin ihan niinku simppelisti:Tiedämme, että ko. tapauksessa muuttujilla r ja θ(t) lausuttuna paikkavektori on
(rcosθ(t), rsinθ(t)). Se ei ole ihan karteesisessa koordinaatistossa sama kuin (r, θ(t)) ja toisaalta napakoordinaatiston yksikkövektorit eivät ole vakioita kuten Neutroni sanoikin.

3³+4³+5³=6³

QS
Seuraa 
Viestejä5671

JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


No joo, tuossa esimerkissä (x(t),y(t)) on paikkavektori, mutta (r,θ(t)) ei ole, jotenkas ei se nyt kovin kummallista ole, että edellisen toka aikadetivaatta <>0, mutta jälkimmäisen toka aikaderivaatta on 0. :-)

Vaan miksi ( r(t),θ(t) ) ei olisi paikkavektori. Kaikki pisteet voidaan kuvata muunnoksella T esim. juurikin karteesiseen koordinaatistoon: (x(t) ,y(t) ) = T( r(t), θ(t) ) = ( r(t) *  sin θ(t), r(t) *  cos θ(t) ), jonka seurauksena nähdään ympyrä karteesisissa koordinaateissa. Muunnos T ei tosin ole injektiivinen, mutta estääkö se polaarikoorinaatitason pisteiden paikka-ominaisuuden? En itse asiassa tiedä vastausta kysymykseeni, heitin vain ilmoille.

 


Tota noin ihan niinku simppelisti:Tiedämme, että ko. tapauksessa muuttujilla r ja θ(t) lausuttuna paikkavektori on
(rcosθ(t), rsinθ(t)). Se ei ole ihan karteesisessa koordinaatistossa sama kuin (r, θ(t)) ja toisaalta napakoordinaatiston yksikkövektorit eivät ole vakioita kuten Neutroni sanoikin.

ehheh. Painelen yöpuulle, jatketaan huomenna. Kyseessä ei ollut napakoordinaatisto vaan napakoordinaattitaso.  Paino sanalla -taso. Ovat kaksi eri asiaa. Piirrä (x,y)-koordinaatisto, jonka jälkeen kumitat y-akselista y-kirjaimen pois. Sitten kirjoitat tilalle θ (älä siis laita kirtokulmaa kiertämään napaa ympäri, vaan kulma kasvaa ylöspäin y-akselin suuntaisesti). Kyseessä on (r, θ)-karteesinen koordinaatisto, ei napakoordinaatisto. Ympyräliike näillä koordinaateilla esitettynä on suora viiva, joka on r:n ja θ:n funktio. Säde r on vakio (vrt. piste x-akselilla), ja  θ radiaaneina kasvaa suorana viivavana äärettömyyteen "ylöspäin" θ-akselilla.

Tässä koordinaatistosa yksikkövektorit ovat ajan suhteen vakioita kuten tavallisessa (x,y)-tasossakin.

QS
Seuraa 
Viestejä5671

Fysiikka voidaan kevyesti määritellä "epätäsmälliseksi matematiikaksi", mutta lineaarialgebran perusasioissa tulkinnalisuuden sijasta täsmällisyys on kyllä saavutettavissa. ;)

JPI
Seuraa 
Viestejä29583

QS kirjoitti:
JP:-)I kirjoitti:
QS kirjoitti:
JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


No joo, tuossa esimerkissä (x(t),y(t)) on paikkavektori, mutta (r,θ(t)) ei ole, jotenkas ei se nyt kovin kummallista ole, että edellisen toka aikadetivaatta <>0, mutta jälkimmäisen toka aikaderivaatta on 0. :-)

Vaan miksi ( r(t),θ(t) ) ei olisi paikkavektori. Kaikki pisteet voidaan kuvata muunnoksella T esim. juurikin karteesiseen koordinaatistoon: (x(t) ,y(t) ) = T( r(t), θ(t) ) = ( r(t) *  sin θ(t), r(t) *  cos θ(t) ), jonka seurauksena nähdään ympyrä karteesisissa koordinaateissa. Muunnos T ei tosin ole injektiivinen, mutta estääkö se polaarikoorinaatitason pisteiden paikka-ominaisuuden? En itse asiassa tiedä vastausta kysymykseeni, heitin vain ilmoille.

 


Tota noin ihan niinku simppelisti:Tiedämme, että ko. tapauksessa muuttujilla r ja θ(t) lausuttuna paikkavektori on
(rcosθ(t), rsinθ(t)). Se ei ole ihan karteesisessa koordinaatistossa sama kuin (r, θ(t)) ja toisaalta napakoordinaatiston yksikkövektorit eivät ole vakioita kuten Neutroni sanoikin.

ehheh. Painelen yöpuulle, jatketaan huomenna. Kyseessä ei ollut napakoordinaatisto vaan napakoordinaattitaso.  Paino sanalla -taso. Ovat kaksi eri asiaa. Piirrä (x,y)-koordinaatisto, jonka jälkeen kumitat y-akselista y-kirjaimen pois. Sitten kirjoitat tilalle θ (älä siis laita kirtokulmaa kiertämään napaa ympäri, vaan kulma kasvaa ylöspäin y-akselin suuntaisesti). Kyseessä on (r, θ)-karteesinen koordinaatisto, ei napakoordinaatisto. Ympyräliike näillä koordinaateilla esitettynä on suora viiva, joka on r:n ja θ:n funktio. Säde r on vakio (vrt. piste x-akselilla), ja  θ radiaaneina kasvaa suorana viivavana äärettömyyteen "ylöspäin" θ-akselilla.

Tässä koordinaatistosa yksikkövektorit ovat ajan suhteen vakioita kuten tavallisessa (x,y)-tasossakin.

Kyllä, ymmärsin asian ja olen siitä täsmälleen samaa mieltä.
Mutta kun ketjussa on kyse sekä geometriasta että mekaniikasta, niin sana kiihtyvyys ilmeisesti liittyy silloin mekaniikkaan, jolloin kiihtyvyys ei ole nolla ilmaistiinpa kappaleen paikka matemaattisesti miten tahansa, eikö?

3³+4³+5³=6³

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
JP:-)I kirjoitti:
QS kirjoitti:
JPI kirjoitti:
QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


No joo, tuossa esimerkissä (x(t),y(t)) on paikkavektori, mutta (r,θ(t)) ei ole, jotenkas ei se nyt kovin kummallista ole, että edellisen toka aikadetivaatta <>0, mutta jälkimmäisen toka aikaderivaatta on 0. :-)

Vaan miksi ( r(t),θ(t) ) ei olisi paikkavektori. Kaikki pisteet voidaan kuvata muunnoksella T esim. juurikin karteesiseen koordinaatistoon: (x(t) ,y(t) ) = T( r(t), θ(t) ) = ( r(t) *  sin θ(t), r(t) *  cos θ(t) ), jonka seurauksena nähdään ympyrä karteesisissa koordinaateissa. Muunnos T ei tosin ole injektiivinen, mutta estääkö se polaarikoorinaatitason pisteiden paikka-ominaisuuden? En itse asiassa tiedä vastausta kysymykseeni, heitin vain ilmoille.

 


Tota noin ihan niinku simppelisti:Tiedämme, että ko. tapauksessa muuttujilla r ja θ(t) lausuttuna paikkavektori on
(rcosθ(t), rsinθ(t)). Se ei ole ihan karteesisessa koordinaatistossa sama kuin (r, θ(t)) ja toisaalta napakoordinaatiston yksikkövektorit eivät ole vakioita kuten Neutroni sanoikin.

ehheh. Painelen yöpuulle, jatketaan huomenna. Kyseessä ei ollut napakoordinaatisto vaan napakoordinaattitaso.  Paino sanalla -taso. Ovat kaksi eri asiaa. Piirrä (x,y)-koordinaatisto, jonka jälkeen kumitat y-akselista y-kirjaimen pois. Sitten kirjoitat tilalle θ (älä siis laita kirtokulmaa kiertämään napaa ympäri, vaan kulma kasvaa ylöspäin y-akselin suuntaisesti). Kyseessä on (r, θ)-karteesinen koordinaatisto, ei napakoordinaatisto. Ympyräliike näillä koordinaateilla esitettynä on suora viiva, joka on r:n ja θ:n funktio. Säde r on vakio (vrt. piste x-akselilla), ja  θ radiaaneina kasvaa suorana viivavana äärettömyyteen "ylöspäin" θ-akselilla.

Tässä koordinaatistosa yksikkövektorit ovat ajan suhteen vakioita kuten tavallisessa (x,y)-tasossakin.

Kyllä, ymmärsin asian ja olen siitä täsmälleen samaa mieltä.
Mutta kun ketjussa on kyse sekä geometriasta että mekaniikasta, niin sana kiihtyvyys ilmeisesti liittyy silloin mekaniikkaan, jolloin kiihtyvyys ei ole nolla ilmaistiinpa kappaleen paikka matemaattisesti miten tahansa, eikö?

QS tarkastelee asiaa käsittääkseni hieman eri näkökulmasta, kyseessä on konfiguraatioavaruuden M (=monisto) eri koordinaateista, joka on tässä keississä 2D-taso. Tähän monistoon M ei liity mitään erityistä koordinaattisysteemiä eli (xy)- ja (rθ)-koordinaatisto ovat täysin tasavertaisessa asemassa.
Toinen derivaatta ei ole tässä tapauksessa aina sama asia kuin kiihtyvyys, se on vain koordinaattikiihtyvyys ja kuten QS sanoo, kantavektorit ovat
rθ-koordinaatistossa myös vakioita, kun pysytään yhdessä konfiguraatioavaruuden kartassa.  Ymmärrän, mistä sekaannus johtuu: se tulee niistä mekaniikan perusteiden oppikirjoista, joissa johdetaan nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeita derivoimalla ajan suhteen kantavektoreita. Tällöin lasketaan hieman eri asiaa, koska siinä kantavekorit esitetään kahdessa eri kartassa ja silloin kantavektorisysteemi yhden koordinaatiston suhteen voi pyöriä ajan mukana toisen suhteen. Sekaannus on sukulainen tilanteelle jossa pyörivässä koordinaatistossa paikallaan olevan kpl:n kiihtyvyys tämän koordinaatiston suhteen on aina nolla, vaikka inertiaalin suhteen kiihtyvyyttä olisikin. QS:n ympyrärataesimerkissä tasaisessa ympyräliikkeessa on θ' = vakio ja θ'' = 0.

Kuhunkin M:n pisteeseen p liittyy (xy)-koordinaateissa tangenttiavaruuden TₚM koordinaattikanta (∂_x, ∂_y) ≈ (i,j). Nämä ovat yksikkövektoreita, jos käytetään kussakin tangenttivavaruudessa TₚM avaruuden  ℝ² standardisisätuloa, g = diag{1,1}. Tässä kannassa nopeus on:

v = x' ∂_x + y' ∂_y = (x', y' )

Voidaan myös käyttää napakoordinaatteja eli tässä tapauksessa liikettä kuvataankin QS:n napakoordinaattitasossa. Tällöin jokaisessa tangenttiavaruudessa on koordinaattien (rθ) indusoima kanta (∂_r, ∂_θ), tässä kannassa g = diag{1, r²}.

v = r' ∂_r + θ' ∂_θ = ( r',  θ' ).

Tässä jälkimmäisessä on hauska lisäominaisuus, nimittäin nopeuden komponenttien yksiköt ovat eri r ja θ suunnassa!.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5671

JPI kirjoitti:

Mutta kun ketjussa on kyse sekä geometriasta että mekaniikasta, niin sana kiihtyvyys ilmeisesti liittyy silloin mekaniikkaan, jolloin kiihtyvyys ei ole nolla ilmaistiinpa kappaleen paikka matemaattisesti miten tahansa, eikö?

Kyllä. Fysikaalisesti (r,θ)-kartta on epäinertiaalinen koordinaatisto, ja melko käyttökelvoton käytännön mekaniikassa. Epäinertiaalisuus näkyy paremmin, kun kappaleeseen kiinniteään jousi, joka mittaa keskeiskiihtyvyyttä venymällä radan normaalin suuntaan. (r,θ)-kartassa liikerata näyttää inertiaaliselta (suora viiva, ei kiihtyvyyttä), mutta jousi on venynyt r-akselin suunnassa jonkin voiman seurauksena. Tällä yhteys siihen, että kappaleen kokemasta ominaiskiihtyvyydestä ei päästä eroon karttakuvauksilla. Asiaan voisi paneutua tulevaisuudessa, ei liene triviaali juttu sekään.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

QS tarkastelee asiaa käsittääkseni hieman eri näkökulmasta, kyseessä on konfiguraatioavaruuden M (=monisto) eri koordinaateista, joka on tässä keississä 2D-taso. Tähän monistoon M ei liity mitään erityistä koordinaattisysteemiä eli (xy)- ja (rθ)-koordinaatisto ovat täysin tasavertaisessa asemassa.
Toinen derivaatta ei ole tässä tapauksessa aina sama asia kuin kiihtyvyys, se on vain koordinaattikiihtyvyys ja kuten QS sanoo, kantavektorit ovat
rθ-koordinaatistossa myös vakioita, kun pysytään yhdessä konfiguraatioavaruuden kartassa.  Ymmärrän, mistä sekaannus johtuu: se tulee niistä mekaniikan perusteiden oppikirjoista, joissa johdetaan nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeita derivoimalla ajan suhteen kantavektoreita. Tällöin lasketaan hieman eri asiaa, koska siinä kantavekorit esitetään kahdessa eri kartassa ja silloin kantavektorisysteemi yhden koordinaatiston suhteen voi pyöriä ajan mukana toisen suhteen. Sekaannus on sukulainen tilanteelle jossa pyörivässä koordinaatistossa paikallaan olevan kpl:n kiihtyvyys tämän koordinaatiston suhteen on aina nolla, vaikka inertiaalin suhteen kiihtyvyyttä olisikin. QS:n ympyrärataesimerkissä tasaisessa ympyräliikkeessa on θ' = vakio ja θ'' = 0.

Kuhunkin M:n pisteeseen p liittyy (xy)-koordinaateissa tangenttiavaruuden TₚM koordinaattikanta (∂_x, ∂_y) ≈ (i,j). Nämä ovat yksikkövektoreita, jos käytetään kussakin tangenttivavaruudessa TₚM avaruuden  ℝ² standardisisätuloa, g = diag{1,1}. Tässä kannassa nopeus on:

v = x' ∂_x + y' ∂_y = (x', y' )

Voidaan myös käyttää napakoordinaatteja eli tässä tapauksessa liikettä kuvataankin QS:n napakoordinaattitasossa. Tällöin jokaisessa tangenttiavaruudessa on koordinaattien (rθ) indusoima kanta (∂_r, ∂_θ), tässä kannassa g = diag{1, r²}.

v = r' ∂_r + θ' ∂_θ = ( r',  θ' ).

Tässä jälkimmäisessä on hauska lisäominaisuus, nimittäin nopeuden komponenttien yksiköt ovat eri r ja θ suunnassa!.

Kyllä vaan. Tuo (r,θ)-kartta on haastava hahmottaa fysikaalisesti, mutta kuten sanoitkin, tasavertainen (x,y)-tason tai napakoordinaatiston kanssa. Fysiikkaa voidaan tehdä kaikissa kolmessa yhtä pätevästi.

Mainitsitkin, että yleensä mekaniikassa johdetaan nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeita derivoimalla ajan suhteen kantavektoreita. Käyrän dervointi pisteessä p = f(t) ja nopeusvektorien v = f'(t) ∈ TₚM  määrittäminen on helppoa.

Kiihtyvyysvektorit f''(t) ovat helppoja kartassa, mutta monistossa M toinen derivaatta f''(t) indusoi paikallisesti pisteiden p ympäristöön hetkelliset helvetin lieskat. Kiihtyvyysvektorin määrittäminen vaatii derivaatan, ja raja-arvon laskeminen vaatii vektorit pisteestä p = f'(t) ∈ TₚM ja pisteestä r = f'(t+d) ∈ TᵣM. Onnettomat TₚM ja TᵣM ovat eri vektoriavaruuksia. Vaikka euklidinen avaruus on yksinkertainen ja nopeus pisteessä p tangenttiavaruuden vektori, on kiihtyvyys pisteessä p peräisin tangenttikimpun TM vektorikentästä. Tämäkin hyvä aihe ruodittavaksi jatkossa.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

QS kirjoitti:

Kiihtyvyysvektorit f''(t) ovat helppoja kartassa, mutta monistossa M toinen derivaatta f''(t) indusoi paikallisesti pisteiden p ympäristöön hetkelliset helvetin lieskat.

Kyllä, asia on juuri näin, kun puhutaan yleisistä monistoista.

QS kirjoitti:

Kiihtyvyysvektorin määrittäminen vaatii derivaatan, ja raja-arvon laskeminen vaatii vektorit pisteestä p = f'(t) ∈ TₚM ja pisteestä r = f'(t+d) ∈ TᵣM. Onnettomat TₚM ja TᵣM ovat eri vektoriavaruuksia. Vaikka euklidinen avaruus on yksinkertainen ja nopeus pisteessä p tangenttiavaruuden vektori, on kiihtyvyys pisteessä p peräisin tangenttikimpun TM vektorikentästä. Tämäkin hyvä aihe ruodittavaksi jatkossa.

Tuo on aivan totta, mitä sanot eri tangenttiavaruuksista, niiden välilä ei ole lienee mitään kanonista tapaa vertailla vektoreita, laskea yhteen tms. Vain jossain erityistapauksissa tuo onnistuu. Itsellä oli mielessä tuossa ℝ² -keississä (siis se ongelmaketjun alkuperäinen kysymys)  laakea monisto M, jossa voidaan vektoreita siirtää pisteen p tangenttiavaruudesta TₚM pisteen r tangenttiavaruuteen TᵣM ihan yksikäsitteisellä tavalla ja siten myös laskea yhteen.

Yleisellä Riemann-monistolla voidaan edelleeen siirtää vektoreita v annettua pisteitä p ja r yhdistävää polkua  x(t) tangenttiavaruuudesta TₚM pisteen r tangenttiavaruuteen TᵣM . Tämä siirto on lineaarinen kuvaus T:TₚM→TᵣM. Kuitenkin tuo lineaarikuvaus T riippuu annetusta polusta x = x(t) ja siten parempi merkitä tuo riippuvuus näkyviin T = T(x). Kuvaus T ei riipu polusta x joss monisto M on laakea(+ jotain topologisia ehtoja)

Riemann-geometria myös mahdollistaa kovariantin derivaatan D määrttelyn vain pisteitä p ja r yhdistävällä polulla x määritellyille vektoreille  V(t) ( = vektorikentille pitkin polkua x). Jos yhdistävä polku x on geodeesi, voidaan määritellä nopeuden x'(t)  derivaatta x''(t) ≡ D(x'()). Tämä on luvallista, koska x'(t) on polulla x määritelty vektorikenttä ylläolevassa mielessä ja D on operaattori joka operoi juuri sellaisiin vektoreihin.

QS kirjoitti:

Vaikka euklidinen avaruus on yksinkertainen ja nopeus pisteessä p tangenttiavaruuden vektori, on kiihtyvyys pisteessä p peräisin tangenttikimpun TM vektorikentästä. Tämäkin hyvä aihe ruodittavaksi jatkossa.

Tämä on hyvä aihe ja tosiaankin palataan tähän. Moni asia voidaan tehdä juuri tangenttikimpussa, josta sitten indusoitruu jotain sinne monistolle M.

Tosin, kun aiheeseen kaivautuu liian syvälle, siellä aukeaa luukku, jossa on pääsäiekimppujen, kehyskimpujen, konnektiomuotojen ym. täyttämä tulinen inferno.

En varmaan tänään enää kirjoittele mitään kovin vaativaa, koska ilta on varattu saunomiselle ja ym. siihen liittyvälle toiminnalle. Mutta viikonloppuna noita juttuja voisi käsitellä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5671

Juu todellakin paneudutaan kovarianttiin derivaattaan ja kiihtyvyyteen.

Kehysikimpuista ja konnektiomuodoista tulee Nakahran kirjanen mieleen. Kylmiä väreitä o.O

Mulla pari päivää menoja, mutta jpi:n havaintoonkin täytyy paneutua: "kiihtyvyys ei ole nolla ilmaistiinpa kappaleen paikka matemaattisesti miten tahansa, eikö?"

Tässä (r,θ)-kartassakin on luukku avaamatta. Kuten jpi ihmetteli, kiihtyvyysvektori on hukassa. Mukana on keskeisvoima josta seuraa pyörimisliike, mutta voima jätettävä taustalle hetkeksi, kun vaatii sen symplektisen moniston - ehkä se myöhemmin. Ilman voimavektoriakin (tai siis 1-muotoa,heh) geometriasta seuraa keskeiskiihtyvyys, joka mun alkuperäisen päätelmän mukaan oli kadonnut.

Katoaminen tapahtui samalla tavalla kuin sij:llä: v = r' ∂_r + θ' ∂_θ = ( r',  θ' ) → r' = 0 ja θ' = vakio → r''= 0 ja θ'' = 0.

Mutta ei me nyt tuotu kiihtyvyysvektoria monistosta alas karttaan, vaan tehtiin päätelmä pelkäsään kartan perusteella. Hmm ;)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Olin tässä aikaisemmin saunassa infernaalisessa löylyssä ja sen jälkeen nauttinut muutaman virvokkeen toipuakseni. Siksi vaan ihan pikaisesti heitän muutaman ajatuksen (jotka voivat olla haparoivia, johtuen löylystä...)

QS kirjoitti:

Tässä (r,θ)-kartassakin on luukku avaamatta. Kuten jpi ihmetteli, kiihtyvyysvektori on hukassa. Mukana on keskeisvoima josta seuraa pyörimisliike, mutta voima jätettävä taustalle hetkeksi, kun vaatii sen symplektisen moniston - ehkä se myöhemmin. Ilman voimavektoriakin (tai siis 1-muotoa,heh) geometriasta seuraa keskeiskiihtyvyys, joka mun alkuperäisen päätelmän mukaan oli kadonnut.

Mutta ei me nyt tuotu kiihtyvyysvektoria monistosta alas karttaan, vaan tehtiin päätelmä pelkäsään kartan perusteella. Hmm ;)


Asia on käsittääkseni juuri näin. Tässä olet asian ytimessä.

Mulla tuli mieleen se, että meillä ei taida olla tuo systeemi ihan hyvin määritelty, ainakaan fysikaalisesti. Nyt meillä on vain kaksi koordinaatistoa: (x,y) ja (r,θ). Kuitenkaan koordinaattien (r,θ) luonnetta ei ole mitenkään määrätty, ne voidaan uudelleen nimetä vaikka (X,Y) koordinaateiksi ja mikään ei estä tulkitsemasta XY-koordinaatteja ihan tavalliseksi karteesiseksi koordinaatistoksi, missä liike tapahtuu vakionopeudella pitkin Y-akselia, kun X pysyy vakiona. Ei ole mitään takeita, että annettu koordinaatisto (r,θ) ei olisi ihan tavallinen suorakulmainen koulukoordinaatisto, nuo termit (r,θ) ovat vain nimiä, jotka viittaavat napakoordinaatistoon.

Tässä mielestäni puuttuu se fysiikka kokonaan, meillä ei ole sitä liikeyhtälöä annettuna ollenkaan, on vain kaksi koordinaatiston kartaa, joilla on toki houkuttelevia nimiä. Siksi tarvitaan Lagrangen funktio monistolla M, josta voidaan johtaa liikeyhtälöt. Koska liike oli oletetusti ympyräliikettä, voidaan olettaa, että liikkeen aiheuttaan keskeisvoima , jonka potentiaali on V = V(r) ja käyttäen tätä saadaan Lagrangen funktio  ( (r,θ)-koordinaateissa):

L(r, r', θ, θ') =  ½(r')² + ½ r² (θ')² - V(r).

Liikeyhtälöiksi saadaan:

r'' - r(θ')² =  -∂V/∂r
θ'' + 2/r r'θ' = 0.

Ympyräradalla r' = r'' = 0 ja θ'' = 0, jolloin yhtälöt surkastuvat muotoon:

- r(θ')² =  - ∂V/∂r.

Yhtälön oikea puoli edustaa yleistyn voiman r-komponenttia jaettuna massalla m, joka on sama kuin radiaali kiihtyvyys a_r (tässä tapauksessa) eli:

a_r = - r(θ')² =  - ∂V/∂r.

Koska r > 0 ja (θ')² > 0, on radiaalikiihtyvyys a_r suunnattu kohti origoa, OK.

Tämäkään lasku ei ihan ensinäkemältä todista, että käytetyt koordinaatit ovat oikeita napakoordinaatteja, mutta sen voi uskotella itselleen huomaamalla Lagrangen funktion liike-energiatermin olevan juuri napakoordinaatistossa lasketun liike-energian lausekkeen. Tarkemmin tarkastellen liike-energia tulee metrisen tensorin lausekkeesta ja tuo Lagrangen lauseke juuri napakoordinaatiston metrisen tensorin määräämä.

Jotenkin tälleen voisi ajatella tuo kinematiikan liittää fysiikkaan tms. Nyt täytyy kuitenkin keskittyä saunavirvokkeisiin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18380

(r,θ) 2-monisto tarvitsee metriikan ja kenttäyhtälön ollakseen fysikaalinen kuvaus.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5671

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Olin tässä aikaisemmin saunassa infernaalisessa löylyssä ja sen jälkeen nauttinut muutaman virvokkeen toipuakseni. Siksi vaan ihan pikaisesti heitän muutaman ajatuksen (jotka voivat olla haparoivia, johtuen löylystä...)

QS kirjoitti:

Tässä (r,θ)-kartassakin on luukku avaamatta. Kuten jpi ihmetteli, kiihtyvyysvektori on hukassa. Mukana on keskeisvoima josta seuraa pyörimisliike, mutta voima jätettävä taustalle hetkeksi, kun vaatii sen symplektisen moniston - ehkä se myöhemmin. Ilman voimavektoriakin (tai siis 1-muotoa,heh) geometriasta seuraa keskeiskiihtyvyys, joka mun alkuperäisen päätelmän mukaan oli kadonnut.

Mutta ei me nyt tuotu kiihtyvyysvektoria monistosta alas karttaan, vaan tehtiin päätelmä pelkäsään kartan perusteella. Hmm ;)


Asia on käsittääkseni juuri näin. Tässä olet asian ytimessä.

Mulla tuli mieleen se, että meillä ei taida olla tuo systeemi ihan hyvin määritelty, ainakaan fysikaalisesti. Nyt meillä on vain kaksi koordinaatistoa: (x,y) ja (r,θ). Kuitenkaan koordinaattien (r,θ) luonnetta ei ole mitenkään määrätty, ne voidaan uudelleen nimetä vaikka (X,Y) koordinaateiksi ja mikään ei estä tulkitsemasta XY-koordinaatteja ihan tavalliseksi karteesiseksi koordinaatistoksi, missä liike tapahtuu vakionopeudella pitkin Y-akselia, kun X pysyy vakiona. Ei ole mitään takeita, että annettu koordinaatisto (r,θ) ei olisi ihan tavallinen suorakulmainen koulukoordinaatisto, nuo termit (r,θ) ovat vain nimiä, jotka viittaavat napakoordinaatistoon.

Tässä mielestäni puuttuu se fysiikka kokonaan, meillä ei ole sitä liikeyhtälöä annettuna ollenkaan, on vain kaksi koordinaatiston kartaa, joilla on toki houkuttelevia nimiä. Siksi tarvitaan Lagrangen funktio monistolla M, josta voidaan johtaa liikeyhtälöt. Koska liike oli oletetusti ympyräliikettä, voidaan olettaa, että liikkeen aiheuttaan keskeisvoima , jonka potentiaali on V = V(r) ja käyttäen tätä saadaan Lagrangen funktio  ( (r,θ)-koordinaateissa):

L(r, r', θ, θ') =  ½(r')² + ½ r² (θ')² - V(r).

Liikeyhtälöiksi saadaan:

r'' - r(θ')² =  -∂V/∂r
θ'' + 2/r r'θ' = 0.

Ympyräradalla r' = r'' = 0 ja θ'' = 0, jolloin yhtälöt surkastuvat muotoon:

- r(θ')² =  - ∂V/∂r.

Yhtälön oikea puoli edustaa yleistyn voiman r-komponenttia jaettuna massalla m, joka on sama kuin radiaali kiihtyvyys a_r (tässä tapauksessa) eli:

a_r = - r(θ')² =  - ∂V/∂r.

Koska r > 0 ja (θ')² > 0, on radiaalikiihtyvyys a_r suunnattu kohti origoa, OK.

Tämäkään lasku ei ihan ensinäkemältä todista, että käytetyt koordinaatit ovat oikeita napakoordinaatteja, mutta sen voi uskotella itselleen huomaamalla Lagrangen funktion liike-energiatermin olevan juuri napakoordinaatistossa lasketun liike-energian lausekkeen. Tarkemmin tarkastellen liike-energia tulee metrisen tensorin lausekkeesta ja tuo Lagrangen lauseke juuri napakoordinaatiston metrisen tensorin määräämä.

Jotenkin tälleen voisi ajatella tuo kinematiikan liittää fysiikkaan tms. Nyt täytyy kuitenkin keskittyä saunavirvokkeisiin.

Laskit täysin oikein keskeiskiihtyvyyden Lagrangen funktiosta, ja sieltä se ilmestyy. 

Silti mua häiritsee tässä esimerkissä se, että keskeiskiihtyvyys on kinemaattinen ilmiö, joten sen tulisi geometrisessa käsittelyssä näkyä myös ilman Lagrangen mekaniikkaa.

Foorumin takia notaationa tästä eteenpäin θ = β, eli (r,β)-taso. Aiemmin mainittu diag(1,1) metriikka ds² = dr² + dβ² vaikuttaa itsestään selvältä. Huomasin, että jossain aiemmassa viestissä ajatuksenvirtana sanoin, että rβ-tasossa ympyrä on neliö. Pinta-alaelementti olisi dA = √(det g) dr dβ = drdβ, ja A = ∫∫ dA = ∫∫ drdβ = 2πr ≠ πr². Metriikka diag(1,1) ei siis voi olla oikein...

Monisto M on paikallisesti ℝ² ja standardikoordinaateissa r-säteisen ympyrän pisteet p∈M voidaan kirjoittaa

p = f(t) = ( f¹(t), f²(t) ) = ( r cos(t), r sin(t) ) = (x,y).

Karttakuvauksella (U, φ) saadaan xy-taso, ja kuvauksella (V, ψ) saadaan rβ-taso:

(U, φ) = (ℝ², Id), missä φ = ( x(p) , y(p) ): U → ℝ². Tämä kuvaa p → ( x(p), y(p) ) = ( r cos(t), r sin(t) ) ortogonaalisessa kannassa {eₓ,eᵧ}.

(V, ψ) = (ℝ², ψ ), missä ψ = ( r(p) , β(p) ): V → ℝ². Tämä kuvaa p → ( r(p), β(p) ) = ( √(x²+y²) , arctan(y/x) ) = ( r, β(t) ) ortogonaalisessa kannassa {eᵣ,eᵦ}.

Tuosta näkee, että rβ-tason metriikka olisikin sama kuin napakoordinaatiston g=diag(1,r²). Tässä g:n komponentit gᵣᵣ = 1 ja gᵦᵦ = r².

Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio r-säteisellä radalla nopeusvektorien komponentit ovat vʳ = (d/dt) r = 0 ja vᵝ = (d/dt) β(t) = β' = vakio V. Vektorina v = 0 eᵣ + V eᵦ, mikä vaikuttaisi kyllä oikealta rβ-tasossa.

Nollasta poikkeavat Christoffelin symbolit ovat Γʳᵦᵦ = -r ja Γᵝᵣᵦ = Γᵝᵦᵣ = 1/r. Nopeusvektorikentän v kovariantti derivaatta D lasketaan Dⱼ vᵃ = ∂ⱼ vᵃ + Γᵃⱼₑ vᵉ. Kovariantit derivaatat rβ-tasossa ovat
 
Dᵣ vʳ = ∂ᵣ vʳ + Γʳᵣₑ vᵉ = ∂ᵣ vʳ = 0
Dᵦ vʳ = ∂ᵦ vʳ + Γʳᵦₑ vᵉ = ∂ᵦ vʳ - r vᵝ = -rβ' = -rV
Dᵣ vᵝ = ∂ᵣ vᵝ + Γᵝᵣₑ vᵉ = ∂ᵣ vᵝ + (1/r) vᵝ = (1/r) β' = (1/r)V
Dᵦ vᵝ = ∂ᵦ vᵝ + Γᵝᵦₑ vᵉ = ∂ᵦ vᵝ + (1/r) vʳ = 0

Kaksi nollasta poikkeavaa ovat -rV ja (1/r)V.

Päättelisin kuitenkin, että pitäisi olla jotain (β')² = V² termejä. Enkä tajua mikä tässä on väärin, jos on väärin. Se hyvä puoli, että kiihtyvyysvektori näkyy nollasta poikkeava myös rβ-tasossa.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat