Juurten irrationaalisuuden todistaminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eräässä omistamassani matematiikan oppikirjassa on todistettu neliöjuuri 2:n olevan irrationaaliluku. On ensin oletettu että se onkin rationaaliluku muotoa p/q, ja on saatu tulos että sitä voi äärettömästi supistaa mikä on mahdotonta sillä murtoluvuilla on aina supistetuin muoto. Niin ollen neliöjuuri 2 on irrationaaliluku.

Kirjassa ei kuitenkaan todistettu muiden juurten irrationaalisuutta. Eikös kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n mikä tahansa juuri ole joko kokonaisluku tai irrationaaliluku, muttei koskaan rationaaliluku joka ei ole kokonaisluku. Onko tämä miten vaikeaa todistaa.

Kommentit (1)

Vierailija
Heppu
Onko tämä miten vaikeaa todistaa.

Ei ole vaikeaa. Olkoot k ja n positiivisia kokonaislukuja. Jos n on jonkin kokonaisluvun k:s potenssi, on k:s juuri n:stä selvästi kokonaisluku. Vaivaksi jää siis vain osoittaa, että jos n ei ole minkään kokonaisluvun k:s potenssi, k:s juuri n:stä on irrationaalinen. Tämän osoittamiseksi tee vastaoletus: k:s juuri n:stä on sittenkin rationaalinen. Vastaoletuksesta seuraa ristiriitaisesti, että n ei ole kokonaisluku. Siis väite pätee.

Yksityiskohdat jätän tällä kertaa harjoitustehtäväksi =)

Uusimmat

Suosituimmat