Seuraa 
Viestejä45973

Eräässä omistamassani matematiikan oppikirjassa on todistettu neliöjuuri 2:n olevan irrationaaliluku. On ensin oletettu että se onkin rationaaliluku muotoa p/q, ja on saatu tulos että sitä voi äärettömästi supistaa mikä on mahdotonta sillä murtoluvuilla on aina supistetuin muoto. Niin ollen neliöjuuri 2 on irrationaaliluku.

Kirjassa ei kuitenkaan todistettu muiden juurten irrationaalisuutta. Eikös kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n mikä tahansa juuri ole joko kokonaisluku tai irrationaaliluku, muttei koskaan rationaaliluku joka ei ole kokonaisluku. Onko tämä miten vaikeaa todistaa.

  • ylös 0
  • alas 0

Kommentit (1)

Heppu
Onko tämä miten vaikeaa todistaa.

Ei ole vaikeaa. Olkoot k ja n positiivisia kokonaislukuja. Jos n on jonkin kokonaisluvun k:s potenssi, on k:s juuri n:stä selvästi kokonaisluku. Vaivaksi jää siis vain osoittaa, että jos n ei ole minkään kokonaisluvun k:s potenssi, k:s juuri n:stä on irrationaalinen. Tämän osoittamiseksi tee vastaoletus: k:s juuri n:stä on sittenkin rationaalinen. Vastaoletuksesta seuraa ristiriitaisesti, että n ei ole kokonaisluku. Siis väite pätee.

Yksityiskohdat jätän tällä kertaa harjoitustehtäväksi =)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat