Vapausasteet

Seuraa 
Viestejä848
Liittynyt30.9.2005

Sanallisesti käsitän vapausasteiden käsitteen siten, että kyseessä on jonkinlainen otoksen hyvyyden mitta. Vai mitä oikein tekee tiedolla vapausasteiden määrästä?

Kun lasketaan otoksen keskiarvo, menetetään yksi vapausaste. Miksi? Missä muissa tilanteissa menetetään vapausasteita? Mitä käytännön seurauksia siitä on?

Kommentit (4)

Vierailija
iisakka
Kun lasketaan otoksen keskiarvo, menetetään yksi vapausaste. Miksi? Missä muissa tilanteissa menetetään vapausasteita? Mitä käytännön seurauksia siitä on?

Olkoot otoskoko n ja sen keskiarvo X. Otoksen satunnaismuuttujien summa S on tällöin

S = nX.

Kun lasketaan satunnaismuuttujia x yhteen, niin n-1 satunnaismuuttujan arvoahan periaatteessa saa vaihdella vapaasti, mutta viimeinen satunnaismuuttujan arvo täytyy valita siten, että keskiarvo tulee halutuksi. Viimeisellä satunnaismuuttujan arvolla ei siis ole vapautta valita. Sen takia yksi vapausaste putoaa.

Esim. otoksesta tiedetään, että n = 4 ja X = 6. Ensimmäiset kolme satunnaismuuttujan arvoa voivat olla vaikka x1 = 3, x2 = 8 ja x3 = 6. Näillä kolmella on vapaus olla mitä tahansa. Nyt x4 täytyy olla 7, muuten ei keskiarvoksi tule 6. x4:llä ei ole vapautta, vaan se määräytyy aikaisempien perusteella.

Vapausasteita menetetään kaikissa muissakin samankaltaisissa tilanteissa. Tiheysfunktiot ovat muodoltaan hiukan erilaisia eri vapausasteilla erilaisissa tilastollisissa testauksissa (esim. T-testi), joten se vaikuttaa esim. luottamusväleihin.

iisakka
Seuraa 
Viestejä848
Liittynyt30.9.2005

Kiitos, mutta ei tuossa oikeastaan ollut minulle uutta tietoa. En tiedä oliko kysymykseni siitä miksi vapausasteita menetetään kun lasketaan keskiarvo jollain tavalla mieletön. Tarkoitan että voiko siihen vastatakaan muuta kuin että niin se vaan on määritelty.

Tuo esimerkki siitä, että viimeinen arvo on keskiarvon tuntemisen vuoksi jo määrätty on myös ennestään tuttu, mutta sinänsä kyllä ihan valaiseva ja kannattaa aina tuodakin esille kun halutaan selittää mistä vapausasteissa on kysymys. Vapausasteiden olemuksesta näkee monenlaisia analogioita joissa esiintyy shakkinappuloita, heiluvia köysiä ja mitä milloinkin

Kale
Vapausasteita menetetään kaikissa muissakin samankaltaisissa tilanteissa.

Missä muissa tilanteissa kuin keskiarvon laskennassa?

Kale
Tiheysfunktiot ovat muodoltaan hiukan erilaisia eri vapausasteilla erilaisissa tilastollisissa testauksissa (esim. T-testi), joten se vaikuttaa esim. luottamusväleihin.

Jep.

Entä mitenkäs tällainen esimerkki. Minulla on keskiarvo ja hajonta, sekä tieto että ne on laskettu 16 mittauksesta, muttei mitään muuta tietoa, ei siis niiden 16 mittauksen yksittäisiä arvoja.

Näitä 16 mittauksen tuloksia on edelleen 13 kpl. Ne eivät kuitenkaan ole saman kohteen mittauksia, vaan mitataan kohteita A, B ja C seuraavalla sekvenssillä: a1,b1,c1,b2,a2,b3,c2,b4,a3,b5,c3,b6,a4. Numerot tuossa ovat vain indeksejä. Arvo x, joka lopulta kiinnostaa, saadaan peräkkäisten a:n, b:n ja c:n funktiona. Tällaisia arvoja x saadaan tuosta siis 6 kpl: x1=f(a1,b1,c1) x2=f(c1,B2,A2) ... x6=f(c3,b6,a4). Sitten tämä 13x16 mittauksen sarja vielä toistetaan 3 kertaa, joten lopulta meillä on x1,x2...x18. Näistä lasketaan sitten lopulta keskiarvo X. Kysymys kuuluu: paljonko lopputuloksessa X on vapausasteita? Jakaumat voidaan varmaan olettaa gaussisiksi.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
iisakka
En tiedä oliko kysymykseni siitä miksi vapausasteita menetetään kun lasketaan keskiarvo jollain tavalla mieletön. Tarkoitan että voiko siihen vastatakaan muuta kuin että niin se vaan on määritelty.

Vapausaste tarkoittaa tuntematonta suuretta, muuttujaa, jolla on jokin arvo, mutta sitä ei (toistaiseksi) tiedetä. Kun tarkastellaan joukkoa vapausasteita, niin jokaista lisätietoa, mikä systeemistä tunnetaan/saadaan, voidaan käyttää yhden vapausasteen lausumiseen jäljelle jääneiden avulla, esim. mainitsemasi keskiarvo. Yhtä hyvin voidaan tuntea muukin riippuvuus vapausateiden välillä, esim. xi + 2*xj + 2*xk = 0. Siitä voi ratkaista vaikka xi:n. Siis tieto systeemistä säilyy, mutta tuntemattomien vapaussateiden määrä vähenee eli "menetetään" vapausasteita.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
iisakka

Entä mitenkäs tällainen esimerkki. Minulla on keskiarvo ja hajonta, sekä tieto että ne on laskettu 16 mittauksesta, muttei mitään muuta tietoa, ei siis niiden 16 mittauksen yksittäisiä arvoja.

Näitä 16 mittauksen tuloksia on edelleen 13 kpl. Ne eivät kuitenkaan ole saman kohteen mittauksia, vaan mitataan kohteita A, B ja C seuraavalla sekvenssillä: a1,b1,c1,b2,a2,b3,c2,b4,a3,b5,c3,b6,a4. Numerot tuossa ovat vain indeksejä. Arvo x, joka lopulta kiinnostaa, saadaan peräkkäisten a:n, b:n ja c:n funktiona. Tällaisia arvoja x saadaan tuosta siis 6 kpl: x1=f(a1,b1,c1) x2=f(c1,B2,A2) ... x6=f(c3,b6,a4). Sitten tämä 13x16 mittauksen sarja vielä toistetaan 3 kertaa, joten lopulta meillä on x1,x2...x18. Näistä lasketaan sitten lopulta keskiarvo X. Kysymys kuuluu: paljonko lopputuloksessa X on vapausasteita? Jakaumat voidaan varmaan olettaa gaussisiksi.

Sovellappa vaikka tästä linkistä, satunnainen otanta perusjoukosta jne...

http://myy.helia.fi/~taaak/k/paattely.ppt#24

Uusimmat

Suosituimmat