Funktio?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miten selittäisitte sanan funktio? Kysymys olisi matematiikan funktiosta.

Minä mietin ja lueskentelin tuossa matematiikan kirjasta sitä. Siinä kirjassa luki että se "kuvaa riippuvuutta" no tuo ei sano vielä mitää, mutta se kuvaa, että funktio on suure jonka suuruudesta riippu jonkin suureen suuruus. Esimerkiksi aika on nopeuden funktio kun puhutaan nopeudesta. Funktion yhtälö merkitään taas:

[code:33wz3c88]y=f(x)[/code:33wz3c88]

x = on muuttuja
y = on funktion arvo

Mitä minä tästä opin oli se että:

1. riippuvuutta kuvaa funktion yhtälö
2. f = x:n funktio eli x on suure jonka suuruus riippuu f:n suuruudesta
3. y = funktion ja sen muuttujan välisen muutoksen arvo
4. x = muuttuja jonka suuruus riippuu funktiostaan jota ilman emme saa funktion arvoa
5. Etsi tehtävän x(muuttuja) ja sitten sen f(funktio) niistä saadaan funktion arvo y yhtälöinillä?

Sanokaa jos jokin meni väärin, vaikka oliki aika epäselvää,
mutta miten muka f= funktio ja y = funktion arvo, eikö sillä f:llä ole jo arvo. Mihin muka tuommosta funktiota tarvitaan ja mitä sillä halutaan sanoa, mitä ei muka yhtälöinä voi tehdä?

esim: Olkoon funktio f(x) = 3x-4 . Millä muuttujan arvolla funktio saa arvon 8:

Muodostetaan yhtälö lauseesta "funktio saa arvon 8"
[code:33wz3c88]
3x-4=8
3x=8+4
3x=12 |:3
x=4[/code:33wz3c88]

Vastaus: Funktio f(x) saa arvon 8, kun x=4

Mitä järkeä on laittaa jotain funktioita tuohon kun sen voi laskea yhtälöllä ja missä tuossa on y,x ja f.

Punaisella olen erottanu kysymykset joihin voitte vastata, vaikka yksitellen vastaamalla tiedon tai jaksamisen määrästä.

Sivut

Kommentit (30)

Vierailija

Nythän on niin, että funktio on kuvaus jostain joukosta jollekin toiselle joukolle.

Funktio siis liittää jokaiseen joukon A alkioon jonkun joukon B alkion. Esim. A voi olla ihmiset ja B päivämäärät, ja funktio "syntymäpäivä" liittää jokaiseen ihmiseen hänen syntymäpäivänsä.

Funktiota ei voi aina ilmaista yhtälönä. Esimerkiksi funktiota, joka liittää lukuun x luvun y, missä luku y on luvun x suomenkielisen kirjoitusasun kirjainten lukumäärä, on melko hankalaa kuvata yhtälöllä.

Kyseinen funktio on siis
f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 5
f(4) = 5
f(5) = 5
f(6) = 5
f(7) = 9
jne.

Lienee hankalaa (ellei mahdotonta?) kuvata tällainen funktio muodossa y = (jotain x:stä riippuvaa).

Vastaavasti funktiota g, joka saa arvon 1, jos x on rationaaliluku ja arvon 0, kun x on irrationaaliluku, on aika hankalaa kuvata yhtälönä.

Funktioilla voi siis tehdä paljonkin sellaista, mitä yhtälöillä ei voi. Voi esimerkiksi keskustella siitä, onko jokin funktio jatkuva jossain pisteessä. Yhtälöistä ei voi keskustella sellaista, se olisi aivan mieletöntä.

Vierailija
nuclear

[code:2nkw3pnk]y=f(x)[/code:2nkw3pnk]

x = on muuttuja
y = on funktion arvo

Mitä minä tästä opin oli se että:

1. riippuvuutta kuvaa funktion yhtälö
2. f = x:n funktio eli x on suure jonka suuruus riippuu f:n suuruudesta
3. y = funktion ja sen muuttujan välisen muutoksen arvo
4. x = muuttuja jonka suuruus riippuu funktiostaan jota ilman emme saa funktion arvoa
5. Etsi tehtävän x(muuttuja) ja sitten sen f(funktio) niistä saadaan funktion arvo y yhtälöinillä?

Kauniisti sanottuna nämä ovat aivan päin mäntyä

x on siis muuttuja. Funktion arvoa pisteessä x, eli sitä lukua, jonka funktio f x:ään liittää, merkitään f(x). Joskus voidaan myös kirjoittaa y = f(x), jolla tarkoitetaan siis, että myös y:llä voidaan merkitä sitä lukua, jonka funktio f x:ään liittää.

y tai f(x) on siis yksinkertaisesti funktion arvo pisteessä x, eikä mikään "funktion ja sen muuttujan välisen muutoksen arvo". (Eihän tuo edes tarkoita mitään, herraisä.)

Riippuvuutta ei tarvitse välttämättä kuvata yhtälöllä, sen voi kuvata muillakin tavoilla. (Kts. edellinen viesti.)

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Opiskelen matematiikkaa, mutta joukko-opista en tiedä paljoakaan. Minulla on siten vain intuitio funktiosta, mutta tarkkaa määritelmää en tiedä. Käsittääkseni jotenkin seuraavasti: Jos A ja B ovat epätyhjiä joukkoja, on funktio f:A->B sellainen C osajoukko (A risti B) jolle
1) kaikille A:n alkioille x on olemassa B:n alkio y jolle (x,y) kuuluu f:ään ja
2) jos (x,y) kuuluu f:ään ja (u,v) kuuluu f:ään ja jos x=u, on myös y=v.

Vierailija

Puuhikki: noinhan se juuri menee, mutta selitäpä sama asia siten, että nuclear todennäköisesti sen ymmärtää. (Sekin on taito.) Tuolla määritelmälläsi ei tässä tee mitään. Ne, jotka tietävät, mikä funktio on (siis lukion pitkän matikan tasolla tai yli), ymmärtävät tuon määritelmän, mutta jos ei funktiota ymmärrä, niin tuosta määritelmästä asia ei myöskään selviä.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
MH
selitäpä sama asia siten, että nuclear todennäköisesti sen ymmärtää.

Yritetään. Ehto yksi sanoo, että jokainen lähtöpuolen alkio kuvautuu jollekin maalijoukon alkiolle. Ehto kaksi taas sanoo, että annetun lähtöjoukon alkion kuva on yksikäsitteinen.

Intuitio on aina hyväksi matematiikassa, mutta jos osaa määritelmät, voi aina tiukan paikan tullen palata niihin ja korjata mahdolliset virhekäsitykset.

Vierailija
nuclear
Miten selittäisitte sanan funktio? Kysymys olisi matematiikan funktiosta.

Minä mietin ja lueskentelin tuossa matematiikan kirjasta sitä. Siinä kirjassa luki että se "kuvaa riippuvuutta" no tuo ei sano vielä mitää, mutta se kuvaa, että funktio on suure jonka suuruudesta riippu jonkin suureen suuruus. Esimerkiksi aika on nopeuden funktio kun puhutaan nopeudesta. Funktion yhtälö merkitään taas:

[code:2ddfbxk3]y=f(x)[/code:2ddfbxk3]

x = on muuttuja
y = on funktion arvo

Mitä minä tästä opin oli se että:

1. riippuvuutta kuvaa funktion yhtälö
2. f = x:n funktio eli x on suure jonka suuruus riippuu f:n suuruudesta
3. y = funktion ja sen muuttujan välisen muutoksen arvo
4. x = muuttuja jonka suuruus riippuu funktiostaan jota ilman emme saa funktion arvoa
5. Etsi tehtävän x(muuttuja) ja sitten sen f(funktio) niistä saadaan funktion arvo y yhtälöinillä?

Sanokaa jos jokin meni väärin, vaikka oliki aika epäselvää,
mutta miten muka f= funktio ja y = funktion arvo, eikö sillä f:llä ole jo arvo. Mihin muka tuommosta funktiota tarvitaan ja mitä sillä halutaan sanoa, mitä ei muka yhtälöinä voi tehdä?

esim: Olkoon funktio f(x) = 3x-4 . Millä muuttujan arvolla funktio saa arvon 8:

Muodostetaan yhtälö lauseesta "funktio saa arvon 8"
[code:2ddfbxk3]
3x-4=8
3x=8+4
3x=12 |:3
x=4[/code:2ddfbxk3]

Vastaus: Funktio f(x) saa arvon 8, kun x=4

Mitä järkeä on laittaa jotain funktioita tuohon kun sen voi laskea yhtälöllä ja missä tuossa on y,x ja f.

Punaisella olen erottanu kysymykset joihin voitte vastata, vaikka yksitellen vastaamalla tiedon tai jaksamisen määrästä.

Olkoon

kaksinkertaistus(x)=2x

ja puolitus(x)=1/2(x)

kerro onko kaksinkertaistus ja puolitus laskevia vaiko nousevia
funktioita?

Vierailija

Puuhikki jo on kertonut funktion määritelmän niin kuin se yliopistossa esitetään ja jälkimmäisessä vielä senkin mitä siitä sanotaan lukiossa - joskin mielestäni niin, että siitä on vaikea oppia, mitä funktio lopulta tarkoittaa. Yritänpä minäkin tässä jotakin.

Kansanomaisesti:
Funktio on "kone", joka tietyn säännön mukaisesti muuttaa "koneeseen" (funktioon) syötetyn luvun joksikin (yleensä) toiseksi luvuksi.

Esim. Olkoon meillä funktiona (tai "koneena") lauseke 2x-2. Syötetään siihen erilaisia lukuja. Vaikka -2, -1, 0, 1 ja 2. Tällöin funktio (tai "kane") antaa ulos lukuja seuraavasti:

x: 2x-2
-2: 2·(-2)-2 = -6
-1: 2·(-1)-2 = -4
0: 2·0-2 = -2
1: 2·1-2 = 0
2: 2·2-2 = 2

Tälle lausekkeelle voidaan antaa nimi. Vaikkapa f. Tällöin voidaan kirjoittaa

f(x) = 2x-2

f = funktion nimi (voi olla esim. jokin muukin kirjain)
x = muuttuja (ilmoitetaan funktion nimen perässä suluissa)
2x-2 = funktion lauseke (sääntö, jonka mukaan kone antaa lukuja ulos).

Jos halutaan laskea funktion arvo kohdassa 3, niin silloin muuttujan x arvo on 3. Tämä sijoitetaan joka paikkaan. Siis

f(3) = 2·3-2 = 4

Siis funktion arvo on 4 kohdassa 3 (siis kun muuttujan arvo on 3). Tämä 4 on myös funktion kuvaajaalla y-koordinaatin arvo, kun x-koordinaatti on 3. Funktion kuvaaja siis kulkee pisteen (3,4) kautta.

Oli tarkoitus puhua vielä määrittelyjoukoista, maalijoukoista ja arvojoukoista, mutta nyt täytyy mennä. Jatkakoon joku muu.

Heksu
Seuraa 
Viestejä5463
Liittynyt16.3.2005

Meidän loistava matikanmaikkamme tiivisti funktion käsitteen sangen iskevästi. Funktio on kuin makkarakone jonka toisesta päästä laitetaan sisään lehmä (esim. jokin luku) ja toisesta päästä tulee ulos makkaraa (esim. jokin toinen luku, tulos).

y = f(x)
makkara = makkarakone(lehmä)

Vastaavasti funktion käänteisfunktiota voidaan samalla tavoin verrata koneeseen, jonka toisesta päästä laitetaan sisään makkaraa ja toisesta päästä saadaan ulos lehmä.

Sinänsä tuo funktion määritteleminen kuvaukseksi on paljon täsmällisempi, mutta edellyttää vähän enemmän matemaattista ymmärrystä.

Vierailija
Kale
Oli tarkoitus puhua vielä määrittelyjoukoista, maalijoukoista ja arvojoukoista, mutta nyt täytyy mennä. Jatkakoon joku muu.

No jatketaanpas sitten. Merkintä f:A→B tarkoittaa sitä, että funktioon syötettävä luku voi olla mikä tahansa joukon A alkio. Tulokseksi saadaan aina jokin joukon B alkio. Joukkoa A kutsutaan määrittelyjoukoksi ja joukkoa B maalijoukoksi. Joukkoa C, joka on joukon B osajoukko, kutsutaan funktion arvojoukoksi, jos ja vain jos
1) jokaista joukon B alkiota y kohti on olemassa vähintään yksi joukon A alkio x siten että f(x) = y.
2) jokaista joukon A alkiota x kohti on olemassa täsmälleen yksi joukon B alkio y siten että f(x) = y.

Esim. f(x)=√(x+1)

Funktion f määrittelyjoukko on [-1,∞[, arvojoukko on [0,∞[ ja maalijoukko saa olla mikä tahansa reaalinen joukko, johon arvojoukko sisältyy (kompleksilukuja ei siis oteta huomioon). Arvojoukko määräytyy siitä, että jos luvun x paikalle laitetaan pienempi luku kuin -1, niin juurta ei voi ottaa. Arvojoukko määräytyy siitä, että juuren arvo on aina vähintään nolla ja kun x lähestyy ääretöntä niin myös funktion arvo lähestyy ääretöntä.

Toki määrittelyjoukon voi määritellä pienemmäksikin joukoksi, mutta tuota suurempi määrittelyjoukko ei voi näillä reaalisuusehdoilla olla.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Funktio on toiminto, ja funktion arvo on toiminnon lopputulos annetuilla lähtötiedoilla. Erilaiset lähtötiedot ja toimintojen lopputulokset tietysti muodostavat toisistaan tästä määritellystä toiminnosta riippuvan arvojoukon.

Voidaan tuo tietysti hienomminkin ilmaista, mutta käytännön merkitys lienee tässä esitetty.

Vierailija

Eikös kaikki kaavat voi esittää funktiona sillä niinhän seon:

A(r)= Pii*r exp 2 eli säteen eri arvoilla saadaan alan muutos laskettua

Vierailija
risat
A(r)= Pii*r exp 2 eli säteen eri arvoilla saadaan alan muutos laskettua

exp x = e^x, joten kaavassasi on virhe. Oikea kaava on pi*r^2.

Toisekseen, kaavallasi saadaan ympyrän pinta-ala A säteen r funktiona, eikä alan muutos, kuten väität.

Vierailija

Voiko funktion selvitää laskukaavalla, kun on aika vaikeeta alkaa etsimään sitä esim:

Funktiokone muttaa siihen syötetyt luvut näin

1 -> 4
2 -> 8
4 -> 16
7 -> 28

Tuon selvitin ihan kokeilemalla ja arvaamalla, josta tuli vastaus: y = 4x eli luku kerrotaan neljällä, mutta onko muita keinoja kuin arvaaminen ja kokeilu?

Vierailija
Heksu
Meidän loistava matikanmaikkamme tiivisti funktion käsitteen sangen iskevästi. Funktio on kuin makkarakone jonka toisesta päästä laitetaan sisään lehmä (esim. jokin luku) ja toisesta päästä tulee ulos makkaraa (esim. jokin toinen luku, tulos).

y = f(x)
makkara = makkarakone(lehmä)

Vastaavasti funktion käänteisfunktiota voidaan samalla tavoin verrata koneeseen, jonka toisesta päästä laitetaan sisään makkaraa ja toisesta päästä saadaan ulos lehmä.

Sinänsä tuo funktion määritteleminen kuvaukseksi on paljon täsmällisempi, mutta edellyttää vähän enemmän matemaattista ymmärrystä.

Eikö linearisoidun signaalin saa käänteisfunktiolla takaisin linearisoimattomaksi.

Vierailija
nuclear
Voiko funktion selvitää laskukaavalla, kun on aika vaikeeta alkaa etsimään sitä esim:

Funktiokone muttaa siihen syötetyt luvut näin

1 -> 4
2 -> 8
4 -> 16
7 -> 28

Tuon selvitin ihan kokeilemalla ja arvaamalla, josta tuli vastaus: y = 4x eli luku kerrotaan neljällä, mutta onko muita keinoja kuin arvaaminen ja kokeilu?


Jotakin olisi hyvä tietää funktion tyypistä, ennen kuin voi ruveta algebrallisia tai analyyttisiä keinoja hyödyntämään. Yksi tapa ottaa selvää tai arvata funktion tyyppi, on että laittaa tiedetyt pisteet koordinaatistoon ja katsoo, miltä funktion kuvaaja alkaa näyttää. Jos esim. laitat esittämässäsi tapauksessa pisteet (1, 4), (2, 8 ), (4, 16) ja (7, 28 ), niin alkaa hahmottua, että kuvaaja taitaa olla suora. Suoran yhtälö taas on

y = ax + b

jolloin sinun täytyy ottaa selville kertoimet (eli parametrit) a ja b. Se tapahtuu yhtälöryhmän avulla. Nyt kun sinulla on kaksi tuntematonta parametria (a ja b) niin tarvitset kaksi yhtälöä. Jos tuntemattomia parametrejä olisi kolme, niin tarvitsisit kolme yhtälöä. Nyt siis yhtälöpari antaa ratkaisuksi parametrit a ja b.

Jokaisesta tiedossa olevasta koordinaatiston pisteestä saa yhden yhtälön. Kun tarvitsen kerran kaksi yhtälöä, niin tarvitsen siis kaksi pistettä. Ne voin valita neljästä tiedetystä pisteestä. Valitsen pisteet (1, 4) ja (2, 8 ). Sijoitetaan nämä pisteet suoran yhtälöön y=ax+b. Saadaan

(1,4): 4 = a·1 + b
(2,8 ): 8 = a·2 + b.

Siis ratkaistaan yhtälöpari

(1) a + b = 4
(2) 2a + b = 8

Kerrotaan yhtälö (1) luvulla -1. Saadaan

(3) -a - b = -4
(4) 2a + b = 8

Lasketaan (3) ja (4) puolittain yhteen. Saadaan

(5) a = 4

Siis parametri a = 4. Sijoitetaan tämä jompaan kumpaan alkuperäisist' yhtälöistä (1) tai (2). Sijoitan yhtälöön (1). Saadaan

(6) 4 + b = 4 => b = 0.

Siis a = 4 ja b = 0. Kun nämä sijoitetaan suoran yhtälöön y = ax + b saadaan y = 4x + 0 eli siis kysytty funktio on suora

y = 4x.

Tietysti voihan olla, että kyseessä ei olekaan suora (vaikka siltä näyttääkin). Se voi olla esim.

y = ax³ + bx² + cx + d

missä

a = -2,2·10^(-14)
b = 2·10^(-13)
c = 4
d = 28/9 · 10^(-13).

Tällöin myös saadaan

y(1) = 4
y(2) = 8
y(4) = 16
y(7) = 28

Yleensä funktiotyypistä tiedetään tehtäväannon perusteella jotakin, jotta sitä voi lähteä algebrallisin ja analyyttisin konstein ratkaisemaan. Näissä kyseessä olevissa ratkaisuissa riitti algebralliset menetelmät. Analyyttisiä menetelmiä tarvitaan, jos tiedetään esim. funktion kasvu- tai vähenemisnopeuksista (derivaatoista) jotakin.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat