Matemaattisen konstruoinnin kriteerit?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Selvittäessäni esimerkkiä ei-mitallisesta joukosta (Lebesquen mitta) löysin linkin http://www.math.kth.se/matstat/gru/godi ... e%20set%22 , jossa konstruoidaan joukko S, joka on ei-mitallinen. Seuraavassa lähes suora lainaus.

Let X = ]0, 1] and define a relation on X by x ~ y if and only if x − y is rational. It is easily checked that this is an equivalence relation. By the Axiom of Choice we can form a set S by selecting a single point from each equivalence class for this relation...

...The set S described above is not Lebesgue measurable.

Kuitenkin Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Non-measurable_set väittää: "It is not possible to construct a non-measurable set, only to show indirectly that one exists."

Täyttääkö siis joukko S matemaattisen konstruoinnin kriteerit? Mitkä nämä kriteerit ovat?

Vai onko yksinkertaisesti vain niin, että Wikipedia puhuu potaskaa?

Itse näin alkajaisiksi olen asennoitunut siten, että Wikipedia puhuu potaskaa ja joukko S on matemaattisesti hyvin konstruoitu.

Muita mielipiteitä, kiitos?

Kommentit (8)

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

No mitas luulet, sisältääkö Höpöpedia, johon kuka tahansa voi kirjoittaa mitä tahansa, virheitä? Konstruktion on mielestäni helpoin esimerkki epämitallisesta joukosta.

Vierailija
Puuhikki
No mitas luulet, sisältääkö Höpöpedia, johon kuka tahansa voi kirjoittaa mitä tahansa, virheitä? Konstruktion on mielestäni helpoin esimerkki epämitallisesta joukosta.

Itseasiassa Wikipedia on parissakin vertailussa mitä tiedon luotettavuuteen tulee osoittautunut olevan samaa luokkaa kuin Encyclopedia Britannica! Tämä johtuu luonnollisesti Wikipeedian avoimuudesta, eli kirjoituksia käyvät läpi lukuisat "tarkastajat". Samanlainen ilmiö on esim. ohjelmakoodin virheettömyyden suhteen open-source ohjelmissa.

Vierailija
Snaut
Itseasiassa Wikipedia on parissakin vertailussa mitä tiedon luotettavuuteen tulee osoittautunut olevan samaa luokkaa kuin Encyclopedia Britannica! Tämä johtuu luonnollisesti Wikipeedian avoimuudesta, eli kirjoituksia käyvät läpi lukuisat "tarkastajat". Samanlainen ilmiö on esim. ohjelmakoodin virheettömyyden suhteen open-source ohjelmissa.

Itse en ole vieläkään pystynyt muodostamaan omaa mielipidettä Naturen teettämästä tutkimuksesta, Encyclopedia Britannican väki pisti ainakin varsin kovasti kampoihin: http://corporate.britannica.com/britann ... sponse.pdf
Suomenkieliseen wikipediaan kannattaa suhtautua kuitenkin todella suurella varauksella, sieltä voi löytyä erittäin karkeita virheitä. Esimerkiksi viime huhtikuussa yksi Maxwellin yhtälöistä oli vielä pahasti väärin.

Vierailija

Ette nyt varsinaisesti vastaa kysymykseen, mutta pitääkö minun nyt sitten ymmärtää, että teidänkin mielestä joukko S on hyvin konstruoitu? Itse olen kyllä sillä kannalla.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Kale
Ette nyt varsinaisesti vastaa kysymykseen, mutta pitääkö minun nyt sitten ymmärtää, että teidänkin mielestä joukko S on hyvin konstruoitu? Itse olen kyllä sillä kannalla.

Näinhän se on. Siinähän joukko on annettu eksplisiittisesti ja todettu epämitalliseksi. En ainakaan itse löytänyt virhettä konstruktiosta.

Vierailija
Puuhikki
Kale
Ette nyt varsinaisesti vastaa kysymykseen, mutta pitääkö minun nyt sitten ymmärtää, että teidänkin mielestä joukko S on hyvin konstruoitu? Itse olen kyllä sillä kannalla.



Näinhän se on. Siinähän joukko on annettu eksplisiittisesti ja todettu epämitalliseksi. En ainakaan itse löytänyt virhettä konstruktiosta.

Eipä sitten muuta kuin Wikipedian artikkelia muuttamaan.

Vierailija
Kale
Selvittäessäni esimerkkiä ei-mitallisesta joukosta (Lebesquen mitta) löysin linkin http://www.math.kth.se/matstat/gru/godi ... e%20set%22 , jossa konstruoidaan joukko S, joka on ei-mitallinen. Seuraavassa lähes suora lainaus.

Let X = ]0, 1] and define a relation on X by x ~ y if and only if x − y is rational. It is easily checked that this is an equivalence relation. By the Axiom of Choice we can form a set S by selecting a single point from each equivalence class for this relation...

...The set S described above is not Lebesgue measurable.

Kuitenkin Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Non-measurable_set väittää: "It is not possible to construct a non-measurable set, only to show indirectly that one exists."

Täyttääkö siis joukko S matemaattisen konstruoinnin kriteerit? Mitkä nämä kriteerit ovat?

Muita mielipiteitä, kiitos?

Ei taida olla mitään "matemaattisen konstruoinnin kriteerejä" jotka olisivat samoja kaikille. Olemassaolo todistuksia jotka käyttävät valinta aksioomaa ("axiom of choice") kutsutaan joskus ei konstruktiivisiksi. Esim. wikipedian
valinta aksiooma sivulla (http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice) lukee näin:

"...A proof requiring the axiom of choice is always nonconstructive: even if the proof produces an object then it is impossible to say exactly what that object is. Consequently, while the axiom of choice asserts that there is a well-ordering of the real numbers, it does not give us an example of one. Yet the reason why we chose above to well-order the real numbers was so that for each set in X we could explicitly choose an element of that set. If we cannot write down the well-ordering we are using, then our choice is not very explicit. This is one of the reasons why some mathematicians dislike the axiom of choice. For example, constructivists posit that all existence proofs should be totally explicit; it should be possible to construct anything that exists. They reject the axiom of choice because it asserts the existence of an object without telling what it is. On the other hand, the mere fact that one has used the axiom of choice to prove the existence of a set does not mean that it cannot be constructed by another method."

Wikipedia on siis oikeassa, jos joku on osoittaunut, sen että ei-mitallisten joukkojen olemassaoloa, ei voida todistaa ilman valinta aksiomaa.

Vierailija
plop
Ei taida olla mitään "matemaattisen konstruoinnin kriteerejä" jotka olisivat samoja kaikille. Olemassaolo todistuksia jotka käyttävät valinta aksioomaa ("axiom of choice") kutsutaan joskus ei konstruktiivisiksi. Esim. wikipedian
valinta aksiooma sivulla (http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice) lukee näin:

"...A proof requiring the axiom of choice is always nonconstructive: even if the proof produces an object then it is impossible to say exactly what that object is. Consequently, while the axiom of choice asserts that there is a well-ordering of the real numbers, it does not give us an example of one. Yet the reason why we chose above to well-order the real numbers was so that for each set in X we could explicitly choose an element of that set. If we cannot write down the well-ordering we are using, then our choice is not very explicit. This is one of the reasons why some mathematicians dislike the axiom of choice. For example, constructivists posit that all existence proofs should be totally explicit; it should be possible to construct anything that exists. They reject the axiom of choice because it asserts the existence of an object without telling what it is. On the other hand, the mere fact that one has used the axiom of choice to prove the existence of a set does not mean that it cannot be constructed by another method."

Wikipedia on siis oikeassa, jos joku on osoittaunut, sen että ei-mitallisten joukkojen olemassaoloa, ei voida todistaa ilman valinta aksiomaa.


Taidat olla oikeassa. MathWorldissa on konstruktiivisesta todistuksesta sanottu

"A constructive proof is a proof that directly provides a specific example, or which gives an algorithm for producing an example. Constructive proofs are also called demonstrative proofs."
http://mathworld.wolfram.com/ConstructiveProof.html

ja ei-konstruktiivisesta todistuksesta taas

"A proof which indirectly shows a mathematical object exists without providing a specific example or algorithm for producing an example. Nonconstructive proofs are also called existence proofs."
http://mathworld.wolfram.com/NonconstructiveProof.html

Kun näihin vielä lisätään olemassaololauseen

"A theorem stating the existence of an object, such as the solution to a problem or equation. Strictly speaking, it need not tell how many such objects there are, nor give hints on how to find them. Some existence theorems give explicit formulas for solutions (e.g., Cramer's rule), others describe in their proofs iteration processes for approaching them (e.g., Bolzano-Weierstrass theorem), while others are settled by nonconstructive proofs which simply deduce the necessity of solutions without indicating any method for determining them (e.g., the Brouwer fixed point theorem, which is proved by reductio ad absurdum, showing that the nonexistence would lead to a contradiction)."
http://mathworld.wolfram.com/ExistenceTheorem.html

ja valinta-aksiooman

"An important and fundamental axiom in set theory sometimes called Zermelo's axiom of choice. It was formulated by Zermelo in 1904 and states that, given any set of mutually exclusive nonempty sets, there exists at least one set that contains exactly one element in common with each of the nonempty sets. The axiom of choice is related to the first of Hilbert's problems.

In Zermelo-Fraenkel set theory (in the form omitting the axiom of choice), Zorn's lemma, the trichotomy law, and the well ordering principle are equivalent to the axiom of choice (Mendelson 1997, p. 275). In contexts sensitive to the axiom of choice, the notation "ZF" is often used to denote Zermelo-Fraenkel without the axiom of choice, while "ZFC" is used if the axiom of choice is included.

In 1940, Gödel proved that the axiom of choice is consistent with the axioms of von Neumann-Bernays-Gödel set theory (a conservative extension of Zermelo-Fraenkel set theory). However, in 1963, Cohen (1963) unexpectedly demonstrated that the axiom of choice is also independent of Zermelo-Fraenkel set theory (Mendelson 1997; Boyer and Merzbacher 1991, pp. 610-611). "

http://mathworld.wolfram.com/AxiomofChoice.html

selitykset, niin saa aivan selvästi kuvan, että valinta-aksiooman käyttö tekee todistuksesta ei-konstruktiivisen. Kiitoksia!

Uusimmat

Suosituimmat