Seuraa 
Viestejä45973

Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Osaako joku todistaa tai esittää vastaesimerkin: Jos funktiot f(x) ja g(x) voidaan integroida ilman erikoisfunktioita, voidaan myös f(x)g(x) integroida ilman erikoisfunktioita.

Sivut

Kommentit (21)

Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Osaako joku todistaa tai esittää vastaesimerkin: Jos funktiot f(x) ja g(x) voidaan integroida ilman erikoisfunktioita, voidaan myös f(x)g(x) integroida ilman erikoisfunktioita.

1)Residue menetelmä

http://mathworld.wolfram.com/ResidueTheorem.html

2)f(x)=exp(-x),g(x)=1/x

Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Osaako joku todistaa tai esittää vastaesimerkin: Jos funktiot f(x) ja g(x) voidaan integroida ilman erikoisfunktioita, voidaan myös f(x)g(x) integroida ilman erikoisfunktioita.


Edellisessä viestissä jo epäsuorasti viitattiin erilaisiin sarjakehitelmiin, joiden avulla voidaan integroida. Tietysti on myös erilaisia numeerisen integroinnin menetelmiä (esim. simposonin sääntö/menetelmä) joilla saadaan määrätyn integraalin arvo suht. tarkkaan.

Toinen vastaesimerkki f(x)=x, g(x)=1/(x·lnx). Nyt
F(x) = ½x² + C ja G(x) = ln(ln(x)) + C, mutta ∫f(x)g(x)dx = ∫dx/lnx = ?

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Massi^-
Löytyykö vastaesimerkkiä jos otetaan tuo 1/x tai ^-1 pois? Sehän on muissakin yhteyksissä joskus poikkeus.

Niitä on aivan tolkuttomasti, esim f(x) = sinx ja g(x) = lnx.

Kale
Massi^-
Löytyykö vastaesimerkkiä jos otetaan tuo 1/x tai ^-1 pois? Sehän on muissakin yhteyksissä joskus poikkeus.

Niitä on aivan tolkuttomasti, esim f(x) = sinx ja g(x) = lnx.

Ok. En vain jaksanut itse keksiä, koska en vielä osaa suoraan sanoa tuollaisia tapauksia. En näe suoraan voiko jotain integroida vai ei.

Voiko kaikki rationaalifunktiot integroida? Entä jos on juurilausekkeita mukana?

Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Niin ja unohtui mainita käänteisfunktioon perustuvat integroinnit. Lisäksi erilaisia trigonometrisiin funktioihin liittyviä erikoistekniikoita on myös olemassa. Vai luokittelitko nämä jo suoriksi integroimiskaavoiksi? Eivät ne ihan tavanomaisinmpia kuitenkaan ole.

Kale
Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Niin ja unohtui mainita käänteisfunktioon perustuvat integroinnit. Lisäksi erilaisia trigonometrisiin funktioihin liittyviä erikoistekniikoita on myös olemassa. Vai luokittelitko nämä jo suoriksi integroimiskaavoiksi? Eivät ne ihan tavanomaisinmpia kuitenkaan ole.

No osa niistä voidaan varmaan laskea kaavoiksi, mutta myös sijoituksesta on olemassa maininnan arvoisia erikoistapauksia. En nyt muista tarkemmin, mutta jotain tämän tapaista: sqrt(x^2+a^2) sijoitetaan x=a sin(theta).

Massi^-
Voiko kaikki rationaalifunktiot integroida? Entä jos on juurilausekkeita mukana?

Ei voi ainakaan niin, että funktiot säilyisivät reaaliarvoisina.

EDIT: Korjaus. Reaaliarvoisen funktion integraalifunktionhan täytyy aina olla reaaliarvoinen (vaikkei lauseketta voisikaan muodostaa), joten lisämääreeni on turha.

pöhl
Seuraa 
Viestejä964

Käsittääkseni funktion (1+x^2)^(1/3) integrandia ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Rischin algoritmin avulla voidaan selvittää, mitkä alkeisfunktioista koostuvat funktiot voidaan integroida alkeisfunktioiden avulla. Ks. Risch, RH (1969). The problem of integration in finite terms. Trans. Amer. Math. Soc., 139:167--189.

Puuhikki
Käsittääkseni funktion (1+x^2)^(1/3) integrandia ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Rischin algoritmin avulla voidaan selvittää, mitkä alkeisfunktioista koostuvat funktiot voidaan integroida alkeisfunktioiden avulla. Ks. Risch, RH (1969). The problem of integration in finite terms. Trans. Amer. Math. Soc., 139:167--189.

Miten se Rischin algoritmi toimii? Mathworldissa sanotaan "The case of algebraic extensions is quite complicated and is therefore not completely implemented in any computer algebra system."
Miten kukaan on jaksanut keksiä sen algoritmin jos sitä ei edes jakseta laiteta kokonaan matematiikkaohjelmiin?

pöhl
Seuraa 
Viestejä964
Massi^-
Miten se Rischin algoritmi toimii?

En ole tutustunut algoritmiin tarkemmin, joten kannattaa lukea Rischin paperi. Siellähän se on selitetty, tosin varsin tiiviissä muodossa. Aika monimutkaiselta algoritmilta vaikuttaa.

Massi^-
Miten kukaan on jaksanut keksiä sen algoritmin jos sitä ei edes jakseta laiteta kokonaan matematiikkaohjelmiin?

Tietojenkäsittelyä voi tutkia teoreettisesti tai käytännön kannalta. Teoreetikoille riittää tietää, että kyseinen algoritmi on olemassa. Käytännössä algoritmin toteutus voi olla niin pitkä, ettei sitä ihminen jaksa toteuttaa. Toisinaan algoritmi voi myös vaatia liikaa muistia tai prosessoriaikaa, jolloin sitä ei ole järkevää toteuttaa. Näin on esimerkiksi Ramseyn lukuja laskettaessa.

Ihmiset suhtautuvat välillä aivan liian vakavasti ns. "alkeisfunktioihin". Matematiikan kehittyessä nyt vain on käynyt niin, että ainoastaan polynomeille ja eksponenttifunktioille (sekä eksponenttifunktion käänteisfunktiolle) on annettu omat symbolinsa.

Matematiikka ei ole kuitenkaan läheskään näin kaavoihin kangistunutta. Voidaan todistaa, että suljetulla välillä jatkuva funktio on Riemann-integroituva. Vaikka esim. funktiolle ∫e^(x^2)dx ei ole määritelty omaa symbolia, on se kaunis, jatkuva ja kaikkialla analyyttinen funktio.

Eikös se ole niin, että kaikki funktiot voidaan integroida helposti. Jos jo keksityt funktiot eivät riitä, määritellään uusi funktio, jonka likiarvoja voi laskea vaikka Simpsonin säännöllä

Massi^-
Eikös se ole niin, että kaikki funktiot voidaan integroida helposti. Jos jo keksityt funktiot eivät riitä, määritellään uusi funktio, jonka likiarvoja voi laskea vaikka Simpsonin säännöllä

Mitäs minä juuri edellisessä viestissä kirjoitin

Vähintään kaikki edes jollakin tavalla "mukavat" funktiot (esim. jatkuvat funktiot) voidaan integroida, riippumatta siitä, voidaanko niiden integraalifunktio esittää alkeisfunktioiden avulla.

Puuhikki
Massi^-
Eikös se ole niin, että kaikki funktiot voidaan integroida helposti.

Jaa. Mitenkä integroit vaikkapa epämitallisen funktion helposti?

Mikä on epämitallinen funktio? Käytetäänkö niitä missään?
Tarkoitin kaikkia funktioita, jotka on määritelty niin, että niiden arvot voi laskea kaikissa määrittelyjoukon pisteissä.

Aika pitkä teksti. Pitääkö tuo lukea kokonaan, jotta asian voi tajuta? Jos ei, missä kohtaa on oleellinen informaatio? Helpottaisi ehkä myös jos antaisit esimerkin epämitallisesta funktiosta.

pöhl
Seuraa 
Viestejä964

Mitallisen funktion määritelmä löytyy sivulta 27. Epämitallinen joukko on olemassa sivulta 33 alkavan esimerkin mukaan, olkoon se vaikka E. Nyt epämitallisen funktion f saat kun asetat tämän joukon jonkun avoimen joukon V alkukuvaksi: f^{-1}(V)=E.

Olet oikeassa Puuhikki, mutta käytännön elämässä kaikki joukot ja funktiot ovat mitallisia! Käsittääkseni yhtään käytännön sovellusta ei ole olemassa, jossa törmättäisiin ei-mitallisiin joukkoihin. Sitten on toinen juttu, sattuuko funktio olemaan integroituva. Tässä tullaan tilenteeseen, että tarkoitetaanko esim. Riemann-integraalia (yleisin), Lebesque-integraalia (ehkä tehokkain?) vai jotakin muuta.

Esim.
Olkoon funktio f:RR määritelty eri tavalla joukoissa Q ja R\Q.
f(x) = 0, kun x ε Q ja
f(x) = 1, kun x ε R\Q.
Nyt funktio f ei ole Riemann-integroituva, mutta on kylläkin Lebesque-integroituva.

HUOM! Käytin epsilonia ε merkityksessä "kuuluu joukkoon", kun varsinaista oikeaa merkkiä en kykene tekemään.

EDIT: Lihavointeja

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat