Integrointi

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Osaako joku todistaa tai esittää vastaesimerkin: Jos funktiot f(x) ja g(x) voidaan integroida ilman erikoisfunktioita, voidaan myös f(x)g(x) integroida ilman erikoisfunktioita.

Sivut

Kommentit (21)

Vierailija
Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Osaako joku todistaa tai esittää vastaesimerkin: Jos funktiot f(x) ja g(x) voidaan integroida ilman erikoisfunktioita, voidaan myös f(x)g(x) integroida ilman erikoisfunktioita.

1)Residue menetelmä

http://mathworld.wolfram.com/ResidueTheorem.html

2)f(x)=exp(-x),g(x)=1/x

Vierailija
Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Osaako joku todistaa tai esittää vastaesimerkin: Jos funktiot f(x) ja g(x) voidaan integroida ilman erikoisfunktioita, voidaan myös f(x)g(x) integroida ilman erikoisfunktioita.


Edellisessä viestissä jo epäsuorasti viitattiin erilaisiin sarjakehitelmiin, joiden avulla voidaan integroida. Tietysti on myös erilaisia numeerisen integroinnin menetelmiä (esim. simposonin sääntö/menetelmä) joilla saadaan määrätyn integraalin arvo suht. tarkkaan.

Toinen vastaesimerkki f(x)=x, g(x)=1/(x·lnx). Nyt
F(x) = ½x² + C ja G(x) = ln(ln(x)) + C, mutta ∫f(x)g(x)dx = ∫dx/lnx = ?

Vierailija
Massi^-
Löytyykö vastaesimerkkiä jos otetaan tuo 1/x tai ^-1 pois? Sehän on muissakin yhteyksissä joskus poikkeus.

Niitä on aivan tolkuttomasti, esim f(x) = sinx ja g(x) = lnx.

Vierailija
Kale
Massi^-
Löytyykö vastaesimerkkiä jos otetaan tuo 1/x tai ^-1 pois? Sehän on muissakin yhteyksissä joskus poikkeus.

Niitä on aivan tolkuttomasti, esim f(x) = sinx ja g(x) = lnx.

Ok. En vain jaksanut itse keksiä, koska en vielä osaa suoraan sanoa tuollaisia tapauksia. En näe suoraan voiko jotain integroida vai ei.

Voiko kaikki rationaalifunktiot integroida? Entä jos on juurilausekkeita mukana?

Vierailija
Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Niin ja unohtui mainita käänteisfunktioon perustuvat integroinnit. Lisäksi erilaisia trigonometrisiin funktioihin liittyviä erikoistekniikoita on myös olemassa. Vai luokittelitko nämä jo suoriksi integroimiskaavoiksi? Eivät ne ihan tavanomaisinmpia kuitenkaan ole.

Vierailija
Kale
Massi^-
Onko olemassa muita integrointitekniikoita kuin suorat integroimiskaavat, sijoitusmenetelmä, osittaisintegrointi ja osamurtohajotelma?

Niin ja unohtui mainita käänteisfunktioon perustuvat integroinnit. Lisäksi erilaisia trigonometrisiin funktioihin liittyviä erikoistekniikoita on myös olemassa. Vai luokittelitko nämä jo suoriksi integroimiskaavoiksi? Eivät ne ihan tavanomaisinmpia kuitenkaan ole.

No osa niistä voidaan varmaan laskea kaavoiksi, mutta myös sijoituksesta on olemassa maininnan arvoisia erikoistapauksia. En nyt muista tarkemmin, mutta jotain tämän tapaista: sqrt(x^2+a^2) sijoitetaan x=a sin(theta).

Vierailija
Massi^-
Voiko kaikki rationaalifunktiot integroida? Entä jos on juurilausekkeita mukana?

Ei voi ainakaan niin, että funktiot säilyisivät reaaliarvoisina.

EDIT: Korjaus. Reaaliarvoisen funktion integraalifunktionhan täytyy aina olla reaaliarvoinen (vaikkei lauseketta voisikaan muodostaa), joten lisämääreeni on turha.

pöhl
Seuraa 
Viestejä876
Liittynyt19.3.2005

Käsittääkseni funktion (1+x^2)^(1/3) integrandia ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Rischin algoritmin avulla voidaan selvittää, mitkä alkeisfunktioista koostuvat funktiot voidaan integroida alkeisfunktioiden avulla. Ks. Risch, RH (1969). The problem of integration in finite terms. Trans. Amer. Math. Soc., 139:167--189.

Vierailija
Puuhikki
Käsittääkseni funktion (1+x^2)^(1/3) integrandia ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Rischin algoritmin avulla voidaan selvittää, mitkä alkeisfunktioista koostuvat funktiot voidaan integroida alkeisfunktioiden avulla. Ks. Risch, RH (1969). The problem of integration in finite terms. Trans. Amer. Math. Soc., 139:167--189.

Miten se Rischin algoritmi toimii? Mathworldissa sanotaan "The case of algebraic extensions is quite complicated and is therefore not completely implemented in any computer algebra system."
Miten kukaan on jaksanut keksiä sen algoritmin jos sitä ei edes jakseta laiteta kokonaan matematiikkaohjelmiin?

pöhl
Seuraa 
Viestejä876
Liittynyt19.3.2005
Massi^-
Miten se Rischin algoritmi toimii?

En ole tutustunut algoritmiin tarkemmin, joten kannattaa lukea Rischin paperi. Siellähän se on selitetty, tosin varsin tiiviissä muodossa. Aika monimutkaiselta algoritmilta vaikuttaa.

Massi^-
Miten kukaan on jaksanut keksiä sen algoritmin jos sitä ei edes jakseta laiteta kokonaan matematiikkaohjelmiin?

Tietojenkäsittelyä voi tutkia teoreettisesti tai käytännön kannalta. Teoreetikoille riittää tietää, että kyseinen algoritmi on olemassa. Käytännössä algoritmin toteutus voi olla niin pitkä, ettei sitä ihminen jaksa toteuttaa. Toisinaan algoritmi voi myös vaatia liikaa muistia tai prosessoriaikaa, jolloin sitä ei ole järkevää toteuttaa. Näin on esimerkiksi Ramseyn lukuja laskettaessa.

Vierailija

Ihmiset suhtautuvat välillä aivan liian vakavasti ns. "alkeisfunktioihin". Matematiikan kehittyessä nyt vain on käynyt niin, että ainoastaan polynomeille ja eksponenttifunktioille (sekä eksponenttifunktion käänteisfunktiolle) on annettu omat symbolinsa.

Matematiikka ei ole kuitenkaan läheskään näin kaavoihin kangistunutta. Voidaan todistaa, että suljetulla välillä jatkuva funktio on Riemann-integroituva. Vaikka esim. funktiolle ∫e^(x^2)dx ei ole määritelty omaa symbolia, on se kaunis, jatkuva ja kaikkialla analyyttinen funktio.

Vierailija

Eikös se ole niin, että kaikki funktiot voidaan integroida helposti. Jos jo keksityt funktiot eivät riitä, määritellään uusi funktio, jonka likiarvoja voi laskea vaikka Simpsonin säännöllä

Vierailija
Massi^-
Eikös se ole niin, että kaikki funktiot voidaan integroida helposti. Jos jo keksityt funktiot eivät riitä, määritellään uusi funktio, jonka likiarvoja voi laskea vaikka Simpsonin säännöllä

Mitäs minä juuri edellisessä viestissä kirjoitin

Vähintään kaikki edes jollakin tavalla "mukavat" funktiot (esim. jatkuvat funktiot) voidaan integroida, riippumatta siitä, voidaanko niiden integraalifunktio esittää alkeisfunktioiden avulla.

pöhl
Seuraa 
Viestejä876
Liittynyt19.3.2005
Massi^-
Eikös se ole niin, että kaikki funktiot voidaan integroida helposti.

Jaa. Mitenkä integroit vaikkapa epämitallisen funktion helposti?

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat